Cho 2 số thực dương a, b. Chứng minh rằng: ab+ a/b+b/a >=a+b+1

Câu 1

Cho ba số thực dương a, b, c thỏa $a b c = 1$ . CMR $\frac{b + c}{\sqrt{a}} + \frac{c + a}{\sqrt{b}} + \frac{a + b}{\sqrt{c}} \geq \sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c} + 3$

Xem đáp án

Lời giải

$\begin{matrix} \frac{b + c}{\sqrt{a}} + \frac{c + a}{\sqrt{b}} + \frac{a + b}{\sqrt{c}} \geq \frac{2 \sqrt[]{b c}}{\sqrt{a}} + \frac{2 \sqrt{c a}}{\sqrt{b}} + \frac{2 \sqrt{a b}}{\sqrt{c}} = 2 (\sqrt{\frac{b c}{a}} + \sqrt{\frac{c a}{b}} + \sqrt{\frac{a b}{c}}) \\ = (\sqrt{\frac{b c}{a}} + \sqrt{\frac{c a}{b}}) + (\sqrt{\frac{c a}{b}} + \sqrt{\frac{a b}{c}}) + (\sqrt{\frac{a b}{c}} + \sqrt{\frac{b c}{a}}) \end{matrix}$

$\begin{matrix} \geq 2 \sqrt{\sqrt{\frac{b c}{a}} \sqrt{\frac{c a}{b}}} + 2 \sqrt{\sqrt{\frac{c a}{b}} \sqrt{\frac{a b}{c}}} + 2 \sqrt{\sqrt{\frac{a b}{c}} \sqrt{\frac{b c}{a}}} \\ = 2 (\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c}) = (\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c}) + (\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c}) \\ \geq \sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c} + 3 \sqrt[3]{\sqrt{a} \sqrt{b} \sqrt{c}} = \sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c} + 3 \end{matrix}$

Vậy $\frac{b + c}{\sqrt{a}} + \frac{c + a}{\sqrt{b}} + \frac{a + b}{\sqrt{c}} \geq \sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c} + 3$

Câu 2

Chứng minh rằng: $a + \frac{1}{b (a - b)} \geq 3, \forall a > b > 0$

Xem đáp án

Lời giải

Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có:

$a + \frac{1}{b (a - b)} = b + (a - b) + \frac{1}{b (a - b)} \geq 3 \sqrt[3]{b . (a - b) . \frac{1}{b (a - b)}} = 3$

Câu 3