Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A=a+12+a2a+1+22 , ∀a≠−1

A=a+12+a2+2a+2a+12=a+12+a+12+1a+12=a+12+a+1+1a+12=2a+12+1a+12+2Cauchy22a+121a+12+2=22+2 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 2a+12=1a+12 hay a=−2±842 Vậy GTNN của A=22+2

Câu hỏi:

19/10/2022 382

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $A = {(a + 1)}^{2} + {(\frac{a^{2}}{a + 1} + 2)}^{2}, \forall a \neq - 1$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bài tập Toán 9 Chủ đề 8: Bất đẳng thức có đáp án !!

Sale Tết giảm 50% 2k7: Bộ 20 đề minh họa Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. form chuẩn 2025 của Bộ giáo dục (chỉ từ 49k/cuốn).

Sách đề toán-lý-hóa Sách văn-sử-địa Tiếng anh & các môn khác

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

$\begin{matrix} A = {(a + 1)}^{2} + {(\frac{a^{2} + 2 a + 2}{a + 1})}^{2} \\ = {(a + 1)}^{2} + {[\frac{{(a + 1)}^{2} + 1}{a + 1}]}^{2} \\ = {(a + 1)}^{2} + {(a + 1 + \frac{1}{a + 1})}^{2} \\ = 2 {(a + 1)}^{2} + \frac{1}{{(a + 1)}^{2}} + 2 \overset{C a u c h y}{} 2 \sqrt{2 {(a + 1)}^{2} \frac{1}{{(a + 1)}^{2}}} + 2 = 2 \sqrt{2} + 2 \end{matrix}$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $2 {(a + 1)}^{2} = \frac{1}{{(a + 1)}^{2}}$ hay $a = \frac{- 2 \pm \sqrt[4]{8}}{2}$

Vậy GTNN của $A = 2 \sqrt{2} + 2$

Nhà sách VIETJACK:

Xem thêm kho sách »

Combo - Sổ tay kiên thức trọng tâm Toán, Lí, Hóa dành cho 2k7 VietJack

₫29.000 (Đã bán 152)

Sách - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,2k)

Sách Combo - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) - 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,6k)

Sách - Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 2,7k)

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho ba số thực dương a, b, c thỏa $a b c = 1$ . CMR $\frac{b + c}{\sqrt{a}} + \frac{c + a}{\sqrt{b}} + \frac{a + b}{\sqrt{c}} \geq \sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c} + 3$

Xem đáp án » 13/07/2024 2,504

Câu 2:

Chứng minh rằng: $a + \frac{1}{b (a - b)} \geq 3, \forall a > b > 0$

Xem đáp án » 13/07/2024 2,152

Câu 3:

Cho 2 số thực dương a, b thỏa $\{\begin{cases} a \geq 1 \\ b \geq 1 \end{cases}$ . Chứng minh rằng: $a \sqrt{b - 1} + b \sqrt{a - 1} \leq a b$

Xem đáp án » 13/07/2024 1,859

Câu 4:

Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa $\{\begin{cases} a > c \\ b > c \end{cases}$ .
Chứng minh rằng $\sqrt{c (a - c)} + \sqrt{c (b - c)} \leq \sqrt{a b}$

Xem đáp án » 13/07/2024 1,515

Câu 5:

Cho 2 số thực dương a, b. Chứng minh rằng: $16 a b {(a - b)}^{2} \leq {(a + b)}^{4}$

Xem đáp án » 13/07/2024 1,437

Câu 6:

Chứng minh rằng: $\frac{a^{2} + 2}{\sqrt{a^{2} + 1}} \geq 2, \forall a \in R$

Xem đáp án » 19/10/2022 1,186

Câu 7:

Cho 4 số thực dương a, b, c, d. Chứng minh rằng: $\sqrt{a c} + \sqrt{b d} \leq \sqrt{(a + b) (c + d)}$

Xem đáp án » 12/07/2024 1,094

Xem thêm các câu hỏi khác »

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $A = {(a + 1)}^{2} + {(\frac{a^{2}}{a + 1} + 2)}^{2}, \forall a \neq - 1$

Nhà sách VIETJACK:

Cho ba số thực dương a, b, c thỏa $a b c = 1$ . CMR $\frac{b + c}{\sqrt{a}} + \frac{c + a}{\sqrt{b}} + \frac{a + b}{\sqrt{c}} \geq \sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c} + 3$

Chứng minh rằng: $a + \frac{1}{b (a - b)} \geq 3, \forall a > b > 0$

Cho 2 số thực dương a, b thỏa $\{\begin{cases} a \geq 1 \\ b \geq 1 \end{cases}$ . Chứng minh rằng: $a \sqrt{b - 1} + b \sqrt{a - 1} \leq a b$

Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa $\{\begin{cases} a > c \\ b > c \end{cases}$ .
Chứng minh rằng $\sqrt{c (a - c)} + \sqrt{c (b - c)} \leq \sqrt{a b}$

Cho 2 số thực dương a, b. Chứng minh rằng: $16 a b {(a - b)}^{2} \leq {(a + b)}^{4}$

Chứng minh rằng: $\frac{a^{2} + 2}{\sqrt{a^{2} + 1}} \geq 2, \forall a \in R$

Cho 4 số thực dương a, b, c, d. Chứng minh rằng: $\sqrt{a c} + \sqrt{b d} \leq \sqrt{(a + b) (c + d)}$

Bình luận

🔥 Đề thi HOT:

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A=a+12+a2a+1+22 , ∀a≠−1

Nhà sách VIETJACK:

Cho ba số thực dương a, b, c thỏa abc=1 . CMR b+ca+c+ab+a+bc≥a+b+c+3

Chứng minh rằng: a+1b(a−b)≥3 , ∀a>b>0

Cho 2 số thực dương a, b thỏa a≥1b≥1 . Chứng minh rằng: ab−1+ba−1≤ab

Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa a>cb>c. Chứng minh rằng ca−c+cb−c≤ab

Cho 2 số thực dương a, b. Chứng minh rằng: 16aba−b2≤a+b4

Chứng minh rằng: a2+2a2+1≥2 , ∀a∈R

Cho 4 số thực dương a, b, c, d. Chứng minh rằng: ac+bd≤a+bc+d

Bình luận

🔥 Đề thi HOT:

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $A = {(a + 1)}^{2} + {(\frac{a^{2}}{a + 1} + 2)}^{2}, \forall a \neq - 1$

Cho ba số thực dương a, b, c thỏa $a b c = 1$ . CMR $\frac{b + c}{\sqrt{a}} + \frac{c + a}{\sqrt{b}} + \frac{a + b}{\sqrt{c}} \geq \sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c} + 3$

Chứng minh rằng: $a + \frac{1}{b (a - b)} \geq 3, \forall a > b > 0$

Cho 2 số thực dương a, b thỏa $\{\begin{cases} a \geq 1 \\ b \geq 1 \end{cases}$ . Chứng minh rằng: $a \sqrt{b - 1} + b \sqrt{a - 1} \leq a b$

Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa $\{\begin{cases} a > c \\ b > c \end{cases}$ .
Chứng minh rằng $\sqrt{c (a - c)} + \sqrt{c (b - c)} \leq \sqrt{a b}$

Cho 2 số thực dương a, b. Chứng minh rằng: $16 a b {(a - b)}^{2} \leq {(a + b)}^{4}$

Chứng minh rằng: $\frac{a^{2} + 2}{\sqrt{a^{2} + 1}} \geq 2, \forall a \in R$

Cho 4 số thực dương a, b, c, d. Chứng minh rằng: $\sqrt{a c} + \sqrt{b d} \leq \sqrt{(a + b) (c + d)}$