Cho đường tròn tâm O và điểm A nằm ngoài đường tròn. Kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C) là tiếp điểm. Trên cung nhỏ BC lấy một điểm M rồi kẻ các đường vuông góc MI, MH, MK xuống các cạnh BC, CA, AB. Gọi giao điểm của BM và IK là P; giao điểm của CM, IH là Q.

a)    Chứng minh rằng các tứ giác BIMK, CIMH nội tiếp được;

Þ $\Delta DAE\Delta CAB$  (g. g)

Þ

Þ AD. BC = AC. DE (1)

Tương tự:  (g. g)

Þ  $\frac{BE}{CD}=\frac{AB}{AC}$

Þ BE. AC = CD. AB (2)

Từ (1) và (2) Þ AD. BC + AB. CD = AC. DE + EB. AC

                    Þ AD. BC + AB. CD = AC. DB (đpcm)

b) Tứ giác BIMK nội tiếp nên $\widehat{IKM}=\widehat{IBM};$  (nội tiếp cùng chắn cung MI);$\widehat{KIM}=\widehat{KBM.}$ (nội tiếp cùng chắn cung KM)   

Tứ giác CIMK nội tiếp nên  $\widehat{ICM}=\widehat{IHM};$(cùng chắn cung MI); $\widehat{MIH}=\widehat{MCH.}$  (cùng chắn cung MH)                                                                 

Xét đường tròn tâm (O) có : $\widehat{KBM}=\widehat{BCM};$  (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung(;$\widehat{MBI}=\widehat{MCH.}$  (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung)           

Từ $\left(1\right),\left(2\right),\left(3\right)$  suy ra $\widehat{KIM}=\widehat{IHM};\widehat{MKI}=\widehat{MIH.}$

Do đó  $\Delta IMK~\Delta MHI(g.g)$

 $\Rightarrow \frac{MK}{MI}=\frac{MI}{MH}\Rightarrow M{I}^2=MK.MH$.