Trên các cạnh $A B, B C$ của tam giác ABC dựng ra phía ngoài tam giác các hình vuông $A C A_{1} A_{2}$ và $B C B_{1} B_{2}$ . Chứng minh rằng các đường thẳng $A B_{1}, A_{1} B, A_{2} B_{2}$ đồng quy

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bài tập Toán 9 Chủ đề 6: Các bài toán chứng minh đồng quy có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Media VietJack

Trường hợp 1: $\hat{C} = 90^{0}$ . Rõ ràng $A B_{1}, A_{1} B, A_{2} B_{2}$ đồng quy tại C.

Trường hợp 2: $\hat{C} \neq 90^{0}$

Các đường tròn ngoại tiếp hình vuông $A C A_{1} A_{2}$ và $B C B_{1} B_{2}$

Có điểm chung c sẽ cắt nhau tại M (khác )

Ta có: $\hat{A M A_{2}} = 45^{0}$ (góc nội tiếp chắn cung một phần tư đường tròn)

$\hat{A_{2} M C} = \hat{A_{2} A C} = 90^{0}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Tương tự: $\hat{C M B_{1}} = 45^{0}$

Vì tia $M A_{2}$ nằm giữa hai tia MA và MC,tia MC nằm giữa hai tia MB và $M A_{2}$

nên $\hat{A M A_{2}} + \hat{A_{2} M C} + \hat{C M B_{1}} = 45^{0} + 90^{0} + 45^{0} = 180^{0}$

hay $A, M, B$ thẳng hàng.

Chứng minh tương tự $A_{1}, M, B$ và $A_{2}, M, B_{2}$ thẳng hàng

Vậy $A B_{1}, A_{1} B$ và $A_{2} B_{2}$ cùng đi qua M

Hay $A B_{1}, A_{1} B$ và $A_{2} B_{2}$ đồng quy.

Hot: 500+ Đề thi vào 10 file word các Sở Hà Nội, TP Hồ Chí Minh có đáp án 2025 (chỉ từ 100k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho tam giác ABC vuông ở A. Trên cạnh AC lấy điểm M, dựng đường tròn (O) có đường kính MC. đường thẳng BM cắt đường tròn (O) tại. D. đường thẳng AD cắt đường tròn (O) tại S. Chứng minh điểm M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADE.

Xem đáp án

Lời giải

Ta có $\hat{M E C} = 90^{0}$ (nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)) => $\hat{M E B} = 90^{0}$ .

Tứ giác AMEB có $\hat{M A B} = 90^{0}$ ; $\hat{M E B} = 90^{0}$ => $\hat{M A B} + \hat{M E B} = 180^{0}$ mà đây là hai góc đối nên tứ giác AMEB nội tiếp một đường tròn => $\hat{A_{2}} = \hat{B_{2}} .$

Tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp => $\hat{A_{1}} = \hat{{B_{2}}_{}}$ ( nội tiếp cùng chắn cung CD)

=> ${\hat{A}}_{1} = \hat{A_{2}}$ => AM là tia phân giác của góc DAE (2)

Từ (1) và (2) ta có M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADE.

Câu 2

Cho đường tròn (O) đường kính AB. Trên đoạn thẳng OB lấy điểm H bất kì ( H không trùng O, B); trên đường thẳng vuông góc với OB tại H, lấy một điểm M ở ngoài đường tròn; MA và MB thứ tự cắt đường tròn (O) tại C và D. Gọi I là giao điểm của AD và BC. Chứng minh MCID là tứ giác nội tiếp.

Xem đáp án

Lời giải

Media VietJack

$\hat{B C A} = \hat{BDA} = 90^{0}$ ( nội tiếp chắn nửa đường tròn ) ….

=> $\hat{M C I} + \hat{I D M} = 180^{0}$ mà đây là hai góc đối của tứ giác MCID nên MCID là tứ giác nội tiếp.

Câu 3