Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên cạnh AC lấy điểm M không trùng với A và C. Vẽ đường tròn đường kính MC, cắt cạnh BC tại M. Các đường thẳng BM và AD lần lượt cắt đường tròn tại các điểm E,F. Chứng m...

Giả sử AB cắt EC tại I. Ta có CA,BE là đường cao của tam giác BIC. ⇒M là trực tâm của ΔBIC ⇒ IM⊥ BC . Mà MD⊥BC ⇒ I, M, D thẳng hàng. Vậy AB,EC,MD đồng quy tại M.

Các đường thẳng AB,CE,MD đồng quy.

Câu 1

Cho tam giác ABC vuông ở A. Trên cạnh AC lấy điểm M, dựng đường tròn (O) có đường kính MC. đường thẳng BM cắt đường tròn (O) tại. D. đường thẳng AD cắt đường tròn (O) tại S. Chứng minh điểm M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADE.

Xem đáp án

Lời giải

Ta có $\hat{M E C} = 90^{0}$ (nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)) => $\hat{M E B} = 90^{0}$ .

Tứ giác AMEB có $\hat{M A B} = 90^{0}$ ; $\hat{M E B} = 90^{0}$ => $\hat{M A B} + \hat{M E B} = 180^{0}$ mà đây là hai góc đối nên tứ giác AMEB nội tiếp một đường tròn => $\hat{A_{2}} = \hat{B_{2}} .$

Tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp => $\hat{A_{1}} = \hat{{B_{2}}_{}}$ ( nội tiếp cùng chắn cung CD)

=> ${\hat{A}}_{1} = \hat{A_{2}}$ => AM là tia phân giác của góc DAE (2)

Từ (1) và (2) ta có M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADE.

Câu 2

Cho đường tròn (O) đường kính AB. Trên đoạn thẳng OB lấy điểm H bất kì ( H không trùng O, B); trên đường thẳng vuông góc với OB tại H, lấy một điểm M ở ngoài đường tròn; MA và MB thứ tự cắt đường tròn (O) tại C và D. Gọi I là giao điểm của AD và BC. Chứng minh MCID là tứ giác nội tiếp.

Xem đáp án

Lời giải

Media VietJack

$\hat{B C A} = \hat{BDA} = 90^{0}$ ( nội tiếp chắn nửa đường tròn ) ….

=> $\hat{M C I} + \hat{I D M} = 180^{0}$ mà đây là hai góc đối của tứ giác MCID nên MCID là tứ giác nội tiếp.

Câu 3