Cho tam giác ABC. Gọi A', B' ,C' là các điểm xác định bởi 2011A'B→+2012A'C→=0→ , 2011B'C→+2012B'A→=0→ , 2011C'A→+2012C'B→=0→ Chứng minh rằng ΔABC và ΔA'B'C' cùng trọng tâm

G là trọng tâm ΔABC ⇒GA→+GB→+GC→=0→ Ta có 2011A'B→+2012A'C→=0→ ⇔2011A'A→+AB→+2012A'A→+AC→=0→ ⇔4023A'A→+2011AB→+2012AC→=0→(1) Tương tự ta có 4023B'B→+2011BC→+2012BA→=0→ ; 4023C'C→+2011CA→+2012CB→=0→ Cộng vế với vế lại ta được 4023AA'→+BB'→+CC'→+BA→+AC→+CB→=0→⇔AA'→+BB'→+CC'→=0→ Suy ra GA→+GB→+GC→=GA'→+GB'→+GC'→⇒GA'→+GB'→+GC'→=0→ Do đó G là trọng tâm ΔA'B'C'

Câu hỏi:

13/07/2024 3,961

Cho tam giác ABC. Gọi A', B' ,C' là các điểm xác định bởi $2011 \vec{A' B} + 2012 \vec{A' C} = \vec{0}$ , $2011 \vec{B' C} + 2012 \vec{B' A} = \vec{0}$ , $2011 \vec{C' A} + 2012 \vec{C' B} = \vec{0}$

Chứng minh rằng $Δ A B C$ và $Δ A' B' C'$ cùng trọng tâm

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 112 câu Trắc nghiệm Toán 10 Bài 3: Tích của vecto với một số có đáp án (Mới nhất) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

G là trọng tâm $Δ A B C$ $\Rightarrow \vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}$

Ta có $2011 \vec{A' B} + 2012 \vec{A' C} = \vec{0}$

$\Leftrightarrow 2011 (\vec{A' A} + \vec{A B}) + 2012 (\vec{A' A} + \vec{A C}) = \vec{0}$

$\Leftrightarrow 4023 \vec{A' A} + 2011 \vec{A B} + 2012 \vec{A C} = \vec{0}$ (1)

Tương tự ta có $4023 \vec{B' B} + 2011 \vec{B C} + 2012 \vec{B A} = \vec{0}; 4023 \vec{C' C} + 2011 \vec{C A} + 2012 \vec{C B} = \vec{0}$

Cộng vế với vế lại ta được $4023 (\vec{A A'} + \vec{B B'} + \vec{C C'}) + \vec{B A} + \vec{A C} + \vec{C B} = \vec{0} \Leftrightarrow \vec{A A'} + \vec{B B'} + \vec{C C'} = \vec{0}$

Suy ra $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{G A'} + \vec{G B'} + \vec{G C'} \Rightarrow \vec{G A'} + \vec{G B'} + \vec{G C'} = \vec{0}$

Do đó G là trọng tâm $Δ A' B' C'$

Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

b) Tìm quỹ tích điểm M thỏa mãn : $|2 \vec{M A} + 3 \vec{M B} + 4 \vec{M C}| = |\vec{M B} - \vec{M A}|$

A. quỹ tích của M là đường tròn tâm I bán kính $\frac{A B}{3}$ .

B. quỹ tích của M là đường tròn tâm I bán kính $\frac{A B}{4}$ .

C. quỹ tích của M là đường tròn tâm I bán kính $\frac{A B}{9}$ .

D. quỹ tích của M là đường tròn tâm I bán kính

\frac{A B}{2}

Lời giải

b) Với I là điểm được xác định ở câu a, ta có: $2 \vec{M A} + 3 \vec{M B} + 4 \vec{M C} = 9 \vec{M I} + (2 \vec{I A} + 3 \vec{I B} + 4 \vec{I C}) = 9 \vec{M I}$

và $\vec{M B} - \vec{M A} = \vec{A B}$ nên $| 2 \vec{M A} + 3 \vec{M B} + 4 \vec{M C} | = | \vec{M B} - \vec{M A} | \Leftrightarrow | 9 \vec{M I} | = | \vec{A B} | \Leftrightarrow M I = \frac{A B}{9}$

Vậy quỹ tích của M là đường tròn tâm I bán kính $\frac{A B}{9}$ .

Chọn C

Câu 2

Cho tam giác ABC

a) Chứng minh rằng tồn tại duy nhất điểm I thỏa mãn : $2 \vec{I A} + 3 \vec{I B} + 4 \vec{I C} = \vec{0}$

Xem đáp án

Lời giải

a) Ta có: $2 \vec{I A} + 3 \vec{I B} + 4 \vec{I C} = \vec{0} \Leftrightarrow 2 \vec{I A} + 3 (\vec{I A} + \vec{A B}) + 4 (\vec{I A} + \vec{A C}) = \vec{0}$

$\Leftrightarrow 9 \vec{I A} = - 3 \vec{A B} - 4 \vec{A C} \Leftrightarrow \vec{I A} = - \frac{3 \vec{A B} + 4 \vec{A C}}{9} \Rightarrow$ I tồn tại và duy nhất.

Câu 3

$b) |4 \vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C}| = |2 \vec{M A} - \vec{M B} - \vec{M C}|$

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O thoả mãn $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} + \vec{O D} = \vec{0}$ .tứ giác ABCD là hình gì?

A. hình bình hành

B. hình thang

C.hình chữ nhật

D. hình vuông

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Cho tứ giác ABCD. Với số k tùy ý, lấy các điểm M và N sao cho $\vec{A M} = k \vec{A B}, \vec{D N} = k \vec{D C}$ . Tìm tập hợp các trung điểm I của đoạn thẳng MN khi k thay đổi.

A. tập hợp điểm I là đường thẳng OO', O, O' lần lượt là trung điểm của AC và BD,

B. tập hợp điểm I là đường thẳng OO', O, O' lần lượt là trung điểm của AD và BC,

C. tập hợp điểm I là đường thẳng OO', O, O' lần lượt là trung điểm của AB và DC,

D. Cả A, B, C đều sai

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Cho tam giác ABC, trên các cạnh AB, BC, CA ta lấy lần lượt các điểm M, N, P sao cho $\frac{A M}{A B} = \frac{B N}{B C} = \frac{C P}{C A}$ . Chứng minh rằng hai tam giác ABC và MNP có cùng trọng tâm.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Cho 2 điểm cố định A, B. Tìm tập hợp các điểm M sao cho:

a) $|\vec{M A} + \vec{M B}| = |\vec{M A} - \vec{M B}|$

A. Tập hợp điểm M là đường tròn tâm I bán kính $\frac{A B}{2}$ với I là trung điểm của AB

B. Tập hợp điểm M là đường tròn tâm I bán kính $\frac{A B}{3}$ với I là trung điểm của AB

C. Tập hợp điểm M là đường tròn tâm I bán kính $\frac{A B}{4}$ với I là trung điểm của AB

D. Tập hợp điểm M là đường tròn tâm I bán kính

\frac{A B}{5}

với I là trung điểm của AB

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Cho tam giác ABC. Gọi A', B' ,C' là các điểm xác định bởi 2011A'B→+2012A'C→=0→ , 2011B'C→+2012B'A→=0→ , 2011C'A→+2012C'B→=0→ Chứng minh rằng ΔABC và ΔA'B'C' cùng trọng tâm

b) Tìm quỹ tích điểm M thỏa mãn : 2MA→+3MB→+4MC→=MB→−MA→

Cho tam giác ABC a) Chứng minh rằng tồn tại duy nhất điểm I thỏa mãn : 2IA→+3IB→+4IC→=0→

b) 4MA→+MB→+MC→=2MA→−MB→−MC→

Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O thoả mãn OA→+OB→+OC→+OD→=0→.tứ giác ABCD là hình gì?

Cho tứ giác ABCD. Với số k tùy ý, lấy các điểm M và N sao cho AM→=kAB→, DN→=kDC→ . Tìm tập hợp các trung điểm I của đoạn thẳng MN khi k thay đổi.

Cho tam giác ABC, trên các cạnh AB, BC, CA ta lấy lần lượt các điểm M, N, P sao cho AMAB=BNBC=CPCA . Chứng minh rằng hai tam giác ABC và MNP có cùng trọng tâm.

Cho 2 điểm cố định A, B. Tìm tập hợp các điểm M sao cho: a) MA→+MB→=MA→−MB→

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho tam giác ABC. Gọi A', B' ,C' là các điểm xác định bởi $2011 \vec{A' B} + 2012 \vec{A' C} = \vec{0}$ , $2011 \vec{B' C} + 2012 \vec{B' A} = \vec{0}$ , $2011 \vec{C' A} + 2012 \vec{C' B} = \vec{0}$

Chứng minh rằng $Δ A B C$ và $Δ A' B' C'$ cùng trọng tâm

b) Tìm quỹ tích điểm M thỏa mãn : $|2 \vec{M A} + 3 \vec{M B} + 4 \vec{M C}| = |\vec{M B} - \vec{M A}|$

Cho tam giác ABC

a) Chứng minh rằng tồn tại duy nhất điểm I thỏa mãn : $2 \vec{I A} + 3 \vec{I B} + 4 \vec{I C} = \vec{0}$

$b) |4 \vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C}| = |2 \vec{M A} - \vec{M B} - \vec{M C}|$

Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O thoả mãn $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} + \vec{O D} = \vec{0}$ .tứ giác ABCD là hình gì?

Cho tứ giác ABCD. Với số k tùy ý, lấy các điểm M và N sao cho $\vec{A M} = k \vec{A B}, \vec{D N} = k \vec{D C}$ . Tìm tập hợp các trung điểm I của đoạn thẳng MN khi k thay đổi.

Cho tam giác ABC, trên các cạnh AB, BC, CA ta lấy lần lượt các điểm M, N, P sao cho $\frac{A M}{A B} = \frac{B N}{B C} = \frac{C P}{C A}$ . Chứng minh rằng hai tam giác ABC và MNP có cùng trọng tâm.

Cho 2 điểm cố định A, B. Tìm tập hợp các điểm M sao cho:

a) $|\vec{M A} + \vec{M B}| = |\vec{M A} - \vec{M B}|$