Cho ABC có A', B', C' là các điểm thay đổi trên BC, CA, AB sao cho AA', BB', CC' đồng quy và thoả mãn AA'→+BB'→+CC'→=0→ Chứng minh AA', BB', CC' là các trung tuyến của tam giác ABC

Giả sử A'B→=kA'C→, B'C→=mB'A→, C'A→=nC'B→ A'B→=kA'C→⇔AB→−AA'→=kAC→−AA'→⇔AA'→=AB→−kAC→1−k Tương tự ta có BB'→=BC→−mBA→1−m=m−1AB→+AC→1−m CC'→=CA→−nCB→1−n=−nAB→+n−1AC→1−n ⇒AA'→+BB'→+CC'→=0→⇔11−k−1−n1−nAB→+−k1−k+11−m−1AB→=0→ Suy ra ⇒11−k−1−n1−n=−k1−k+11−m−1=0⇒k=m=n Mặt khác theo định lí Xêva ta có kmn=−1 nên k=m=n=−1 Vậy AA', BB', CC' là các trung tuyến của tam giác ABC

Câu hỏi:

11/07/2024 553

Cho ABC có A', B', C' là các điểm thay đổi trên BC, CA, AB sao cho $A A', B B', C C'$ đồng quy và thoả mãn $\vec{A A'} + \vec{B B'} + \vec{C C'} = \vec{0}$ Chứng minh $A A', B B', C C'$ là các trung tuyến của tam giác ABC

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 112 câu Trắc nghiệm Toán 10 Bài 3: Tích của vecto với một số có đáp án (Mới nhất) !!

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Giả sử $\vec{A' B} = k \vec{A' C}, \vec{B' C} = m \vec{B' A}, \vec{C' A} = n \vec{C' B}$

$\vec{A' B} = k \vec{A' C} \Leftrightarrow \vec{A B} - \vec{A A'} = k (\vec{A C} - \vec{A A'}) \Leftrightarrow \vec{A A'} = \frac{\vec{A B} - k \vec{A C}}{1 - k}$

Tương tự ta có $\vec{B B'} = \frac{\vec{B C} - m \vec{B A}}{1 - m} = \frac{(m - 1) \vec{A B} + \vec{A C}}{1 - m}$

$\vec{C C'} = \frac{\vec{C A} - n \vec{C B}}{1 - n} = \frac{- n \vec{A B} + (n - 1) \vec{A C}}{1 - n}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \vec{A A'} + \vec{B B'} + \vec{C C'} = \vec{0} \\ \Leftrightarrow (\frac{1}{1 - k} - 1 - \frac{n}{1 - n}) \vec{A B} + (\frac{- k}{1 - k} + \frac{1}{1 - m} - 1) \vec{A B} = \vec{0} \end{array}$

Suy ra $\Rightarrow \frac{1}{1 - k} - 1 - \frac{n}{1 - n} = \frac{- k}{1 - k} + \frac{1}{1 - m} - 1 = 0 \Rightarrow k = m = n$

Mặt khác theo định lí Xêva ta có $k m n = - 1$ nên $k = m = n = - 1$

Vậy $A A', B B', C C'$ là các trung tuyến của tam giác ABC

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

Câu 1:

b) Tìm quỹ tích điểm M thỏa mãn : $|2 \vec{M A} + 3 \vec{M B} + 4 \vec{M C}| = |\vec{M B} - \vec{M A}|$

A. quỹ tích của M là đường tròn tâm I bán kính $\frac{A B}{3}$ .

B. quỹ tích của M là đường tròn tâm I bán kính $\frac{A B}{4}$ .

C. quỹ tích của M là đường tròn tâm I bán kính $\frac{A B}{9}$ .

D. quỹ tích của M là đường tròn tâm I bán kính

\frac{A B}{2}

Xem đáp án » 02/11/2022 9,958

Câu 2:

Cho tam giác ABC

a) Chứng minh rằng tồn tại duy nhất điểm I thỏa mãn : $2 \vec{I A} + 3 \vec{I B} + 4 \vec{I C} = \vec{0}$

Xem đáp án » 11/07/2024 9,140

Câu 3:

$b) |4 \vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C}| = |2 \vec{M A} - \vec{M B} - \vec{M C}|$

Xem đáp án » 11/07/2024 6,973

Câu 4:

Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O thoả mãn $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} + \vec{O D} = \vec{0}$ .tứ giác ABCD là hình gì?

A. hình bình hành

B. hình thang

C.hình chữ nhật

D. hình vuông

Xem đáp án » 02/11/2022 5,298

Câu 5:

Cho tứ giác ABCD. Với số k tùy ý, lấy các điểm M và N sao cho $\vec{A M} = k \vec{A B}, \vec{D N} = k \vec{D C}$ . Tìm tập hợp các trung điểm I của đoạn thẳng MN khi k thay đổi.

A. tập hợp điểm I là đường thẳng OO', O, O' lần lượt là trung điểm của AC và BD,

B. tập hợp điểm I là đường thẳng OO', O, O' lần lượt là trung điểm của AD và BC,

C. tập hợp điểm I là đường thẳng OO', O, O' lần lượt là trung điểm của AB và DC,

D. Cả A, B, C đều sai

Xem đáp án » 02/11/2022 4,690

Câu 6:

Cho tam giác ABC, trên các cạnh AB, BC, CA ta lấy lần lượt các điểm M, N, P sao cho $\frac{A M}{A B} = \frac{B N}{B C} = \frac{C P}{C A}$ . Chứng minh rằng hai tam giác ABC và MNP có cùng trọng tâm.

Xem đáp án » 11/07/2024 4,406

Câu 7:

Cho 2 điểm cố định A, B. Tìm tập hợp các điểm M sao cho:

a) $|\vec{M A} + \vec{M B}| = |\vec{M A} - \vec{M B}|$

A. Tập hợp điểm M là đường tròn tâm I bán kính $\frac{A B}{2}$ với I là trung điểm của AB

B. Tập hợp điểm M là đường tròn tâm I bán kính $\frac{A B}{3}$ với I là trung điểm của AB

C. Tập hợp điểm M là đường tròn tâm I bán kính $\frac{A B}{4}$ với I là trung điểm của AB

D. Tập hợp điểm M là đường tròn tâm I bán kính

\frac{A B}{5}

với I là trung điểm của AB

Xem đáp án » 02/11/2022 4,127

Xem thêm các câu hỏi khác »

Cho ABC có A', B', C' là các điểm thay đổi trên BC, CA, AB sao cho $A A', B B', C C'$ đồng quy và thoả mãn $\vec{A A'} + \vec{B B'} + \vec{C C'} = \vec{0}$ Chứng minh $A A', B B', C C'$ là các trung tuyến của tam giác ABC

Nhà sách VIETJACK:

b) Tìm quỹ tích điểm M thỏa mãn : $|2 \vec{M A} + 3 \vec{M B} + 4 \vec{M C}| = |\vec{M B} - \vec{M A}|$

Cho tam giác ABC

a) Chứng minh rằng tồn tại duy nhất điểm I thỏa mãn : $2 \vec{I A} + 3 \vec{I B} + 4 \vec{I C} = \vec{0}$

$b) |4 \vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C}| = |2 \vec{M A} - \vec{M B} - \vec{M C}|$

Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O thoả mãn $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} + \vec{O D} = \vec{0}$ .tứ giác ABCD là hình gì?

Cho tứ giác ABCD. Với số k tùy ý, lấy các điểm M và N sao cho $\vec{A M} = k \vec{A B}, \vec{D N} = k \vec{D C}$ . Tìm tập hợp các trung điểm I của đoạn thẳng MN khi k thay đổi.

Cho tam giác ABC, trên các cạnh AB, BC, CA ta lấy lần lượt các điểm M, N, P sao cho $\frac{A M}{A B} = \frac{B N}{B C} = \frac{C P}{C A}$ . Chứng minh rằng hai tam giác ABC và MNP có cùng trọng tâm.

Cho 2 điểm cố định A, B. Tìm tập hợp các điểm M sao cho:

a) $|\vec{M A} + \vec{M B}| = |\vec{M A} - \vec{M B}|$

Bình luận

🔥 Đề thi HOT:

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

Cho ABC có A', B', C' là các điểm thay đổi trên BC, CA, AB sao cho AA', BB', CC' đồng quy và thoả mãn AA'→+BB'→+CC'→=0→ Chứng minh AA', BB', CC' là các trung tuyến của tam giác ABC

Nhà sách VIETJACK:

b) Tìm quỹ tích điểm M thỏa mãn : 2MA→+3MB→+4MC→=MB→−MA→

Cho tam giác ABC a) Chứng minh rằng tồn tại duy nhất điểm I thỏa mãn : 2IA→+3IB→+4IC→=0→

b) 4MA→+MB→+MC→=2MA→−MB→−MC→

Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O thoả mãn OA→+OB→+OC→+OD→=0→.tứ giác ABCD là hình gì?

Cho tứ giác ABCD. Với số k tùy ý, lấy các điểm M và N sao cho AM→=kAB→, DN→=kDC→ . Tìm tập hợp các trung điểm I của đoạn thẳng MN khi k thay đổi.

Cho tam giác ABC, trên các cạnh AB, BC, CA ta lấy lần lượt các điểm M, N, P sao cho AMAB=BNBC=CPCA . Chứng minh rằng hai tam giác ABC và MNP có cùng trọng tâm.

Cho 2 điểm cố định A, B. Tìm tập hợp các điểm M sao cho: a) MA→+MB→=MA→−MB→

Bình luận

🔥 Đề thi HOT:

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho ABC có A', B', C' là các điểm thay đổi trên BC, CA, AB sao cho $A A', B B', C C'$ đồng quy và thoả mãn $\vec{A A'} + \vec{B B'} + \vec{C C'} = \vec{0}$ Chứng minh $A A', B B', C C'$ là các trung tuyến của tam giác ABC

b) Tìm quỹ tích điểm M thỏa mãn : $|2 \vec{M A} + 3 \vec{M B} + 4 \vec{M C}| = |\vec{M B} - \vec{M A}|$

Cho tam giác ABC

a) Chứng minh rằng tồn tại duy nhất điểm I thỏa mãn : $2 \vec{I A} + 3 \vec{I B} + 4 \vec{I C} = \vec{0}$

$b) |4 \vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C}| = |2 \vec{M A} - \vec{M B} - \vec{M C}|$

Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O thoả mãn $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} + \vec{O D} = \vec{0}$ .tứ giác ABCD là hình gì?

Cho tứ giác ABCD. Với số k tùy ý, lấy các điểm M và N sao cho $\vec{A M} = k \vec{A B}, \vec{D N} = k \vec{D C}$ . Tìm tập hợp các trung điểm I của đoạn thẳng MN khi k thay đổi.

Cho tam giác ABC, trên các cạnh AB, BC, CA ta lấy lần lượt các điểm M, N, P sao cho $\frac{A M}{A B} = \frac{B N}{B C} = \frac{C P}{C A}$ . Chứng minh rằng hai tam giác ABC và MNP có cùng trọng tâm.

Cho 2 điểm cố định A, B. Tìm tập hợp các điểm M sao cho:

a) $|\vec{M A} + \vec{M B}| = |\vec{M A} - \vec{M B}|$