Cho tam giác ABC và điểm M nằm trong tam giác. Đường thẳng AM cắt BC tại D, BM cắt CA tại E và CM cắt AB tại F. Chứng minh rằng nếu $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{0}$  thì M là trọng tâm tam giác ABC.

Trước tiên ta chứng minh bổ đề sau

Cho ba véc tơ $\overrightarrow{a};\overrightarrow{b};\overrightarrow{c}$  đôi một không cùng phương và thỏa mãn điều kiện :  

$\left\{\begin{array}{c}m\overrightarrow{a}+n\overrightarrow{b}+p\overrightarrow{c}=\overrightarrow{0}\\ m\text{'}\overrightarrow{a}+n\text{'}\overrightarrow{b}+p\text{'}\overrightarrow{c}=\overrightarrow{0}\end{array}\right.\left(m,m\text{'}\ne 0\right)$

Chứng minh rằng : $\frac{m}{m\text{'}}=\frac{n}{n\text{'}}=\frac{p}{p\text{'}}$ . Thật vậy :

Dễ thấy $m,m\text{'}\ne 0$  thì suy ra ngay n, n’, p, p’ cũng phải khác không.

Từ giả thiết ta có :  $\left\{\begin{array}{c}\overrightarrow{a}=\frac{n}{m}\overrightarrow{b}+\frac{p}{m}\overrightarrow{c}\\ \overrightarrow{a}=\frac{n\text{'}}{m\text{'}}\overrightarrow{b}+\frac{p\text{'}}{m\text{'}}\overrightarrow{c}\end{array}\right.$

vì một véc tơ chỉ phân tích được một cách duy nhất qua hai véc tơ không cùng phương nên  $\frac{n}{m}=\frac{n\text{'}}{m\text{'}};\frac{p}{m}=\frac{p\text{'}}{m\text{'}}\Rightarrow \frac{m}{m\text{'}}=\frac{n}{n\text{'}}=\frac{p}{p\text{'}}$         

Trở lại bài toán

Ta có $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{0}\iff$$\frac{AD}{MA}\overrightarrow{MA}+\frac{BE}{MB}\overrightarrow{MB}+\frac{CF}{MC}\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}$

Mặt khác $\frac{AD}{MA}=\frac{S_{ABD}}{S_{ABM}}=\frac{S_{ADC}}{S_{ACM}}=\frac{S}{S-S_a}$ , tương tự $\frac{BE}{MB}=\frac{S}{S-S_b}$  và $\frac{CF}{MC}=\frac{S}{S-S_c}$

(với $S=S_{ABC},S_a=S_{MBC},S_b=S_{MCA},S_c=S_{MAB}$ )

Do đó ta có $\frac{\overrightarrow{MA}}{S-S_a}+\frac{\overrightarrow{MB}}{S-S_b}+\frac{\overrightarrow{MC}}{S-S_c}=\overrightarrow{0}$

Mặt khác ta cũng có $S_a\overrightarrow{MA}+S_b\overrightarrow{MB}+S_c\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}$

Áp dụng bổ đề suy ra $\frac{\frac{1}{S-S_a}}{S_a}=\frac{\frac{1}{S-S_b}}{S_b}=\frac{\frac{1}{S-S_c}}{S_c}\iff S_a=S_b=S_c$  hay M trùng trọng tâm tam giác ABC