Trên đường tròn tâm O bán kính bằng 1 lấy 2n+1 điểm Pi, i=1,2,...,2n+1n∈N ở cùng phía với đối với đường kính nào đó. Chứng minh rằng ∑i=12n+1OPi→≥1

Ta chứng minh bằng quy nạp + Với n=0: hiển nhiên + Giả sử BĐT đúng với n=k ta đi chứng minh đúng với n=k+1 hay ∑i=12k+3OPi→≥1 Trong 2k+3 vectơ ta chọn hai vectơ có góc lớn nhất, giả sử OP1→, OP2k+3→ . Đặt OA→=OP1→+ OP2k+3→ , OB→=∑i=22k+2OPi→ . Suy ra điểm A, B nằm trong góc P1OP2k+3^ do đó AOB^≤900 ⇒OA→+OB→≥OB→ Mặt khác theo giả thiết quy nạp ta có OB→=∑i=22k+2OPi→≥1 Suy ra ∑i=12k+3OPi→=OA→+OB→≥OB→≥1

Câu hỏi:

02/11/2022 193

Trên đường tròn tâm O bán kính bằng 1 lấy 2n+1 điểm $P_{i}, i = 1, 2, ..., 2 n + 1 (n \in N)$ ở cùng phía với đối với đường kính nào đó. Chứng minh rằng $|\sum_{i = 1}^{2 n + 1} \vec{O P_{i}}| \geq 1$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 112 câu Trắc nghiệm Toán 10 Bài 3: Tích của vecto với một số có đáp án (Mới nhất) !!

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta chứng minh bằng quy nạp

+ Với n=0: hiển nhiên

+ Giả sử BĐT đúng với n=k ta đi chứng minh đúng với n=k+1 hay $|\sum_{i = 1}^{2 k + 3} \vec{O P_{i}}| \geq 1$

Trong 2k+3 vectơ ta chọn hai vectơ có góc lớn nhất, giả sử $\vec{O P_{1}}, \vec{O P_{2 k + 3}}$ .

Đặt $\vec{O A} = \vec{O P_{1}} + \vec{O P_{2 k + 3}}$ , $\vec{O B} = \sum_{i = 2}^{2 k + 2} \vec{O P_{i}}$ .

Suy ra điểm A, B nằm trong góc $\hat{P_{1} O P_{2 k + 3}}$ do đó $\hat{A O B} \leq 90^{0}$ $\Rightarrow |\vec{O A} + \vec{O B}| \geq |\vec{O B}|$

Mặt khác theo giả thiết quy nạp ta có $|\vec{O B}| = |\sum_{i = 2}^{2 k + 2} \vec{O P_{i}}| \geq 1$

Suy ra $|\sum_{i = 1}^{2 k + 3} \vec{O P_{i}}| = |\vec{O A} + \vec{O B}| \geq |\vec{O B}| \geq 1$

Bình luận

Câu 1:

b) Tìm quỹ tích điểm M thỏa mãn : $|2 \vec{M A} + 3 \vec{M B} + 4 \vec{M C}| = |\vec{M B} - \vec{M A}|$

A. quỹ tích của M là đường tròn tâm I bán kính $\frac{A B}{3}$ .

B. quỹ tích của M là đường tròn tâm I bán kính $\frac{A B}{4}$ .

C. quỹ tích của M là đường tròn tâm I bán kính $\frac{A B}{9}$ .

D. quỹ tích của M là đường tròn tâm I bán kính

\frac{A B}{2}

Xem đáp án » 02/11/2022 10,363

Câu 2:

Cho tam giác ABC

a) Chứng minh rằng tồn tại duy nhất điểm I thỏa mãn : $2 \vec{I A} + 3 \vec{I B} + 4 \vec{I C} = \vec{0}$

Xem đáp án » 11/07/2024 9,542

Câu 3:

$b) |4 \vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C}| = |2 \vec{M A} - \vec{M B} - \vec{M C}|$

Xem đáp án » 11/07/2024 7,193

Câu 4:

Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O thoả mãn $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} + \vec{O D} = \vec{0}$ .tứ giác ABCD là hình gì?

A. hình bình hành

B. hình thang

C.hình chữ nhật

D. hình vuông

Xem đáp án » 02/11/2022 5,404

Câu 5:

Cho tứ giác ABCD. Với số k tùy ý, lấy các điểm M và N sao cho $\vec{A M} = k \vec{A B}, \vec{D N} = k \vec{D C}$ . Tìm tập hợp các trung điểm I của đoạn thẳng MN khi k thay đổi.

A. tập hợp điểm I là đường thẳng OO', O, O' lần lượt là trung điểm của AC và BD,

B. tập hợp điểm I là đường thẳng OO', O, O' lần lượt là trung điểm của AD và BC,

C. tập hợp điểm I là đường thẳng OO', O, O' lần lượt là trung điểm của AB và DC,

D. Cả A, B, C đều sai

Xem đáp án » 02/11/2022 4,867

Câu 6:

Cho tam giác ABC, trên các cạnh AB, BC, CA ta lấy lần lượt các điểm M, N, P sao cho $\frac{A M}{A B} = \frac{B N}{B C} = \frac{C P}{C A}$ . Chứng minh rằng hai tam giác ABC và MNP có cùng trọng tâm.

Xem đáp án » 11/07/2024 4,708

Câu 7:

Cho 2 điểm cố định A, B. Tìm tập hợp các điểm M sao cho:

a) $|\vec{M A} + \vec{M B}| = |\vec{M A} - \vec{M B}|$

A. Tập hợp điểm M là đường tròn tâm I bán kính $\frac{A B}{2}$ với I là trung điểm của AB

B. Tập hợp điểm M là đường tròn tâm I bán kính $\frac{A B}{3}$ với I là trung điểm của AB

C. Tập hợp điểm M là đường tròn tâm I bán kính $\frac{A B}{4}$ với I là trung điểm của AB

D. Tập hợp điểm M là đường tròn tâm I bán kính

\frac{A B}{5}

với I là trung điểm của AB

Xem đáp án » 02/11/2022 4,222

Xem thêm các câu hỏi khác »

Trên đường tròn tâm O bán kính bằng 1 lấy 2n+1 điểm $P_{i}, i = 1, 2, ..., 2 n + 1 (n \in N)$ ở cùng phía với đối với đường kính nào đó. Chứng minh rằng $|\sum_{i = 1}^{2 n + 1} \vec{O P_{i}}| \geq 1$

Nhà sách VIETJACK:

Bình luận

b) Tìm quỹ tích điểm M thỏa mãn : $|2 \vec{M A} + 3 \vec{M B} + 4 \vec{M C}| = |\vec{M B} - \vec{M A}|$

Cho tam giác ABC

a) Chứng minh rằng tồn tại duy nhất điểm I thỏa mãn : $2 \vec{I A} + 3 \vec{I B} + 4 \vec{I C} = \vec{0}$

$b) |4 \vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C}| = |2 \vec{M A} - \vec{M B} - \vec{M C}|$

Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O thoả mãn $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} + \vec{O D} = \vec{0}$ .tứ giác ABCD là hình gì?

Cho tứ giác ABCD. Với số k tùy ý, lấy các điểm M và N sao cho $\vec{A M} = k \vec{A B}, \vec{D N} = k \vec{D C}$ . Tìm tập hợp các trung điểm I của đoạn thẳng MN khi k thay đổi.

Cho tam giác ABC, trên các cạnh AB, BC, CA ta lấy lần lượt các điểm M, N, P sao cho $\frac{A M}{A B} = \frac{B N}{B C} = \frac{C P}{C A}$ . Chứng minh rằng hai tam giác ABC và MNP có cùng trọng tâm.

Cho 2 điểm cố định A, B. Tìm tập hợp các điểm M sao cho:

a) $|\vec{M A} + \vec{M B}| = |\vec{M A} - \vec{M B}|$

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

Trên đường tròn tâm O bán kính bằng 1 lấy 2n+1 điểm Pi, i=1,2,...,2n+1n∈N ở cùng phía với đối với đường kính nào đó. Chứng minh rằng ∑i=12n+1OPi→≥1

Nhà sách VIETJACK:

Bình luận

b) Tìm quỹ tích điểm M thỏa mãn : 2MA→+3MB→+4MC→=MB→−MA→

Cho tam giác ABC a) Chứng minh rằng tồn tại duy nhất điểm I thỏa mãn : 2IA→+3IB→+4IC→=0→

b) 4MA→+MB→+MC→=2MA→−MB→−MC→

Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O thoả mãn OA→+OB→+OC→+OD→=0→.tứ giác ABCD là hình gì?

Cho tứ giác ABCD. Với số k tùy ý, lấy các điểm M và N sao cho AM→=kAB→, DN→=kDC→ . Tìm tập hợp các trung điểm I của đoạn thẳng MN khi k thay đổi.

Cho tam giác ABC, trên các cạnh AB, BC, CA ta lấy lần lượt các điểm M, N, P sao cho AMAB=BNBC=CPCA . Chứng minh rằng hai tam giác ABC và MNP có cùng trọng tâm.

Cho 2 điểm cố định A, B. Tìm tập hợp các điểm M sao cho: a) MA→+MB→=MA→−MB→

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Trên đường tròn tâm O bán kính bằng 1 lấy 2n+1 điểm $P_{i}, i = 1, 2, ..., 2 n + 1 (n \in N)$ ở cùng phía với đối với đường kính nào đó. Chứng minh rằng $|\sum_{i = 1}^{2 n + 1} \vec{O P_{i}}| \geq 1$

b) Tìm quỹ tích điểm M thỏa mãn : $|2 \vec{M A} + 3 \vec{M B} + 4 \vec{M C}| = |\vec{M B} - \vec{M A}|$

Cho tam giác ABC

a) Chứng minh rằng tồn tại duy nhất điểm I thỏa mãn : $2 \vec{I A} + 3 \vec{I B} + 4 \vec{I C} = \vec{0}$

$b) |4 \vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C}| = |2 \vec{M A} - \vec{M B} - \vec{M C}|$

Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O thoả mãn $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} + \vec{O D} = \vec{0}$ .tứ giác ABCD là hình gì?

Cho tứ giác ABCD. Với số k tùy ý, lấy các điểm M và N sao cho $\vec{A M} = k \vec{A B}, \vec{D N} = k \vec{D C}$ . Tìm tập hợp các trung điểm I của đoạn thẳng MN khi k thay đổi.

Cho tam giác ABC, trên các cạnh AB, BC, CA ta lấy lần lượt các điểm M, N, P sao cho $\frac{A M}{A B} = \frac{B N}{B C} = \frac{C P}{C A}$ . Chứng minh rằng hai tam giác ABC và MNP có cùng trọng tâm.

Cho 2 điểm cố định A, B. Tìm tập hợp các điểm M sao cho:

a) $|\vec{M A} + \vec{M B}| = |\vec{M A} - \vec{M B}|$