Cho tam giác ABC và hai điểm M, N lần lượt nằm trên hai cạnh AB, AC sao cho MN song song với BC. Gọi ME, BF lần lượt là phân giác của các góc M, B của các tam giác AMN và tam giác ABC. Chứng minh rằng:

a) ∆MEN ᔕ ∆BFC.

b) \(\frac{{AE}}{{AF}} = \frac{{MN}}{{BC}}\).

Lời giải

a)

Vì MN song song với BC (gt) nên

\(\widehat {ENM} = \widehat C\) (hai góc đồng vị);

\(\widehat {AMN} = \widehat {ABC}\) (hai góc đồng vị).

Mà ME, BF lần lượt là phân giác của các góc M, B của các tam giác AMN và tam giác ABC nên \(\widehat {EMN} = \frac{1}{2}\widehat {AMN}\) và \(\widehat {FBC} = \frac{1}{2}\widehat {ABC}\). Do đó, \(\widehat {EMN} = \widehat {FBC}\).

Tam giác MEN và tam giác BFC có:

\(\widehat {ENM} = \widehat C\) (cmt)

\(\widehat {EMN} = \widehat {FBC}\) (cmt)

Do đó, tam giác MEN đồng dạng với tam giác BFC (g.g).

b)

Tam giác ABC có:

MN song song với BC

Nên theo hệ quả định lý Thalès ta có:

\(\frac{{MN}}{{BC}} = \frac{{AM}}{{AB}}\) (1).

Vì ME, BF lần lượt là phân giác của \(\widehat M\), \(\widehat B\) của tam giác AMN và tam giác ABC nên \(\widehat {EMA} = \frac{1}{2}\widehat {AMN} = \frac{1}{2}\widehat {ABC} = \widehat {FBA}\).

Do đó, \(\widehat {EMA} = \widehat {FBA}\) mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên ME song song với BF.

Tam giác ABF có ME song song với BF nên theo hệ quả định lý Thalès ta có:

\(\frac{{AE}}{{AF}} = \frac{{AM}}{{AB}}\) (2).

Từ (1) và (2) ta có: \(\frac{{AE}}{{AF}} = \frac{{MN}}{{BC}}\).