Câu hỏi:

11/07/2024 37,544

Cho tam giác nhọn ABC có các đường cao AD, BE, CF cắt nhau ở H. Chứng minh rằng:

a) HA . HD = HB . HE = HC . HF;

b) ∆AFC ∆AEB và AF . AB = AE . AC;

c) ∆BDF ∆EDC và DA là tia phân giác của góc EDF.

Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).

Tổng ôn toán Tổng ôn sử Các môn khác

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

Lời giải

Media VietJack

a)

Vì AD, BE, CF là các đường cao của tam giác ABC nên AD vuông góc với BC, BE vuông góc với AC, CF vuông góc với AB.

Tam giác AHE vuông ở H và tam giác BHD vuông ở D có:

\(\widehat {AHE} = \widehat {BHD}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó, ∆AHE ∆BHD (góc nhọn).

Suy ra \(\frac{{AH}}{{BH}} = \frac{{HE}}{{HD}}\) nên HA . HD = HB . HE (1).

Tam giác HBF vuông ở F và tam giác HCE vuông ở E có:

\(\widehat {BHF} = \widehat {EHC}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó, ∆HBF ∆HCE (góc nhọn).

Suy ra \(\frac{{HB}}{{HC}} = \frac{{HF}}{{HE}}\) nên HB . HE = HC . HF (2).

Từ (1) và (2) ta có: HA . HD = HB . HE = HC . HF.

b)

Tam giác AFC vuông ở F và tam giác AEB vuông ở E có:

\(\widehat {BAC}\) chung.

Do đó, ∆AFC ∆AEB (góc nhọn)

Suy ra \(\frac{{AF}}{{AE}} = \frac{{AC}}{{AB}}\) nên AF . AB = AE . AC.

c)

Vì HA . HD = HB . HE nên \(\frac{{HA}}{{HE}} = \frac{{HB}}{{HD}}\)

Tam giác HAB và tam giác HED có:

\(\frac{{HA}}{{HE}} = \frac{{HB}}{{HD}}\) (cmt)

\(\widehat {AHB} = \widehat {EHD}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó, ∆AHB ∆EHD (c.g.c).

Suy ra \(\widehat {HAB} = \widehat {HED}\).

Mà \(\widehat {HAB} + \widehat {FBD} = \widehat {HED} + \widehat {DEC}\) (= \(90^\circ \)).

Do đó, \(\widehat {FBD} = \widehat {DEC}\).

Chứng minh tương tự ta có: \(\widehat {BFD} = \widehat {ECD}\).

Tam giác BDF và tam giác EDC có:

\(\widehat {FBD} = \widehat {DEC}\) (cmt)

\(\widehat {BFD} = \widehat {ECD}\) (cmt)

Do đó, ∆BDF ∆EDC (g.g).

Suy ra: \(\widehat {BDF} = \widehat {EDC}\).

Mà \[\widehat {BDF} + \widehat {FDH} = \widehat {EDC} + \widehat {HDE}\left( { = 90^\circ } \right)\].

Do đó, \(\widehat {FDH} = \widehat {HDE}\) hay \(\widehat {FDA} = \widehat {ADE}\).

Vậy DA là tia phân giác của góc EDF.

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Từ H kẻ đường thẳng HE vuông góc với AB (E thuộc AB). Chứng minh rằng:

a) ∆ABC ∆HAC và CA2 = CH . CB.

b) \(\frac{{AH}}{{BC}} = \frac{{HE}}{{AB}}\).

Xem đáp án » 11/07/2024 9,529

Câu 2:

Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Biết rằng AB = 6 cm và AC = 8 cm, hãy tính độ dài các đoạn thẳng BC, AH, BH, CH.

Xem đáp án » 11/07/2024 9,510

Câu 3:

Cho tam giác nhọn ABC có các đường cao AD, BE, CF. Chứng minh rằng:

a) ∆BDF ∆BAC và ∆CDE ∆CAB;

b) BF . BA + CE . CA = BC2.

Xem đáp án » 11/07/2024 4,299

Câu 4:

Cho hình vuông ABCD và M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC. Gọi O là giao điểm của CM và DN.

a) Chứng minh rằng CM DN.

b) Biết AB = 4 cm, hãy tính diện tích tam giác ONC.

Xem đáp án » 11/07/2024 3,519

Câu 5:

Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Cho M là một điểm nằm trên cạnh BC (M nằm giữa C và H). Kẻ đường thẳng qua M vuông góc với BC lần lượt cắt AC và tia đối của tia AB tại N và P. Chứng minh rằng:

a) ∆ANP ∆HBA và ∆MCN ∆MPB;

b) \(\frac{{MB}}{{MC}} \cdot \frac{{NC}}{{NA}} \cdot \frac{{PA}}{{PB}} = 1\).

Xem đáp án » 11/07/2024 2,177

Câu 6:

Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Gọi M, N lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ H xuống AB và AC. Chứng minh rằng:

a) AM . AB = AH2 và AM . AB = AN . AC.

b) ∆AMN ∆ACB.

Xem đáp án » 30/10/2023 1,127

Bình luận


Bình luận

kiti
21:53 - 18/08/2024

Giúp tớ với
Cho tam giác ABC nhọn các đường cao AE, CF cắt nhau tại H a, cm tam giác BHF ᔕ tam giác CHE b, cm HE. HB =

Đăng ký gói thi VIP

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

  • Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
  • Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
  • Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
  • Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

  • Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
  • Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
  • Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
  • Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

  • Siêu tiết kiệm - Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
  • Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
  • Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
  • Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

Vietjack official store