Câu hỏi:
11/07/2024 32,950Cho tam giác nhọn ABC có các đường cao AD, BE, CF cắt nhau ở H. Chứng minh rằng:
a) HA . HD = HB . HE = HC . HF;
b) ∆AFC ᔕ ∆AEB và AF . AB = AE . AC;
c) ∆BDF ᔕ ∆EDC và DA là tia phân giác của góc EDF.
Sách mới 2k7: 30 đề đánh giá năng lực DHQG Hà Nội, Tp. Hồ Chí Minh, BKHN 2025 mới nhất (600 trang - chỉ từ 140k).
Quảng cáo
Trả lời:
Lời giải
a)
Vì AD, BE, CF là các đường cao của tam giác ABC nên AD vuông góc với BC, BE vuông góc với AC, CF vuông góc với AB.
Tam giác AHE vuông ở H và tam giác BHD vuông ở D có:
\(\widehat {AHE} = \widehat {BHD}\) (hai góc đối đỉnh)
Do đó, ∆AHE ᔕ ∆BHD (góc nhọn).
Suy ra \(\frac{{AH}}{{BH}} = \frac{{HE}}{{HD}}\) nên HA . HD = HB . HE (1).
Tam giác HBF vuông ở F và tam giác HCE vuông ở E có:
\(\widehat {BHF} = \widehat {EHC}\) (hai góc đối đỉnh)
Do đó, ∆HBF ᔕ ∆HCE (góc nhọn).
Suy ra \(\frac{{HB}}{{HC}} = \frac{{HF}}{{HE}}\) nên HB . HE = HC . HF (2).
Từ (1) và (2) ta có: HA . HD = HB . HE = HC . HF.
b)
Tam giác AFC vuông ở F và tam giác AEB vuông ở E có:
\(\widehat {BAC}\) chung.
Do đó, ∆AFC ᔕ ∆AEB (góc nhọn)
Suy ra \(\frac{{AF}}{{AE}} = \frac{{AC}}{{AB}}\) nên AF . AB = AE . AC.
c)
Vì HA . HD = HB . HE nên \(\frac{{HA}}{{HE}} = \frac{{HB}}{{HD}}\)
Tam giác HAB và tam giác HED có:
\(\frac{{HA}}{{HE}} = \frac{{HB}}{{HD}}\) (cmt)
\(\widehat {AHB} = \widehat {EHD}\) (hai góc đối đỉnh)
Do đó, ∆AHB ᔕ ∆EHD (c.g.c).
Suy ra \(\widehat {HAB} = \widehat {HED}\).
Mà \(\widehat {HAB} + \widehat {FBD} = \widehat {HED} + \widehat {DEC}\) (= \(90^\circ \)).
Do đó, \(\widehat {FBD} = \widehat {DEC}\).
Chứng minh tương tự ta có: \(\widehat {BFD} = \widehat {ECD}\).
Tam giác BDF và tam giác EDC có:
\(\widehat {FBD} = \widehat {DEC}\) (cmt)
\(\widehat {BFD} = \widehat {ECD}\) (cmt)
Do đó, ∆BDF ᔕ ∆EDC (g.g).
Suy ra: \(\widehat {BDF} = \widehat {EDC}\).
Mà \[\widehat {BDF} + \widehat {FDH} = \widehat {EDC} + \widehat {HDE}\left( { = 90^\circ } \right)\].
Do đó, \(\widehat {FDH} = \widehat {HDE}\) hay \(\widehat {FDA} = \widehat {ADE}\).
Vậy DA là tia phân giác của góc EDF.
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Câu 2:
Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Từ H kẻ đường thẳng HE vuông góc với AB (E thuộc AB). Chứng minh rằng:
a) ∆ABC ᔕ ∆HAC và CA2 = CH . CB.
b) \(\frac{{AH}}{{BC}} = \frac{{HE}}{{AB}}\).
Câu 3:
Cho tam giác nhọn ABC có các đường cao AD, BE, CF. Chứng minh rằng:
a) ∆BDF ᔕ ∆BAC và ∆CDE ᔕ ∆CAB;
b) BF . BA + CE . CA = BC2.
Câu 4:
Cho hình vuông ABCD và M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC. Gọi O là giao điểm của CM và DN.
a) Chứng minh rằng CM ⊥ DN.
b) Biết AB = 4 cm, hãy tính diện tích tam giác ONC.
Câu 5:
Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Cho M là một điểm nằm trên cạnh BC (M nằm giữa C và H). Kẻ đường thẳng qua M vuông góc với BC lần lượt cắt AC và tia đối của tia AB tại N và P. Chứng minh rằng:
a) ∆ANP ᔕ ∆HBA và ∆MCN ᔕ ∆MPB;
b) \(\frac{{MB}}{{MC}} \cdot \frac{{NC}}{{NA}} \cdot \frac{{PA}}{{PB}} = 1\).
Câu 6:
Giúp tớ với
Cho tam giác ABC nhọn các đường cao AE, CF cắt nhau tại H a, cm tam giác BHF ᔕ tam giác CHE b, cm HE. HB =
về câu hỏi!