Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Cho M là một điểm nằm trên cạnh BC (M nằm giữa C và H). Kẻ đường thẳng qua M vuông góc với BC lần lượt cắt AC và tia đối của tia AB tại N và P. Chứng minh rằng:

a) ∆ANP ᔕ ∆HBA và ∆MCN ᔕ ∆MPB;

b) \(\frac{{MB}}{{MC}} \cdot \frac{{NC}}{{NA}} \cdot \frac{{PA}}{{PB}} = 1\).

Lời giải

a) Vì tam giác ABC vuông tại A nên \(\widehat {BAC} = 90^\circ \).

Mà \(\widehat {BAC} + \widehat {PAN} = 180^\circ \) (hai góc kề bù)

Do đó, \(\widehat {PAN} = 90^\circ \).

Vì MN vuông góc với BC, AH vuông góc với BC nên MN song song với AH hay MP song song với AH.

Do đó, \(\widehat P = \widehat {HAB}\) (hai góc đồng vị).

Tam giác ANP vuông tại A và tam giác HBA vuông tại H có:

\(\widehat P = \widehat {HAB}\) (cmt)

Do đó, ∆ANP ᔕ ∆HBA (hai góc nhọn bằng nhau).

Tam giác MCN vuông tại M và tam giác MPB vuông tại M có:

\(\widehat C = \widehat P\) (cùng phụ với góc B).

Do đó, ∆MCN ᔕ ∆MPB (hai góc nhọn bằng nhau).

b)

Ta có: \(\frac{{MB}}{{MC}} \cdot \frac{{NC}}{{NA}} \cdot \frac{{PA}}{{PB}} = \frac{{MB}}{{PB}} \cdot \frac{{NC}}{{NA}} \cdot \frac{{PA}}{{MC}}\).

Tam giác PMB có: PM song song với AH nên theo định lí Thalès ta có:

\(\frac{{MB}}{{MH}} = \frac{{PB}}{{PA}}\) hay \(\frac{{MB}}{{PB}} = \frac{{MH}}{{PA}}\).

Tam giác AHC có: MN song song với AH nên theo định lí Thales ta có:

\(\frac{{NC}}{{NA}} = \frac{{MC}}{{MH}}\).

Do đó, \(\frac{{MB}}{{MC}} \cdot \frac{{NC}}{{NA}} \cdot \frac{{PA}}{{PB}} = \frac{{MB}}{{PB}} \cdot \frac{{NC}}{{NA}} \cdot \frac{{PA}}{{MC}}\)\( = \frac{{MH}}{{PA}} \cdot \frac{{MC}}{{MH}} \cdot \frac{{PA}}{{MC}} = 1\).