Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Cho M là một điểm nằm trên cạnh BC (M nằm giữa C và H). Kẻ đường thẳng qua M vuông góc với BC lần lượt cắt AC và tia đối của tia AB tại N và P. Chứng minh rằng:
a) ∆ANP ᔕ ∆HBA và ∆MCN ᔕ ∆MPB;
b) \(\frac{{MB}}{{MC}} \cdot \frac{{NC}}{{NA}} \cdot \frac{{PA}}{{PB}} = 1\).
Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Cho M là một điểm nằm trên cạnh BC (M nằm giữa C và H). Kẻ đường thẳng qua M vuông góc với BC lần lượt cắt AC và tia đối của tia AB tại N và P. Chứng minh rằng:
a) ∆ANP ᔕ ∆HBA và ∆MCN ᔕ ∆MPB;
b) \(\frac{{MB}}{{MC}} \cdot \frac{{NC}}{{NA}} \cdot \frac{{PA}}{{PB}} = 1\).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Lời giải
a) Vì tam giác ABC vuông tại A nên \(\widehat {BAC} = 90^\circ \).
Mà \(\widehat {BAC} + \widehat {PAN} = 180^\circ \) (hai góc kề bù)
Do đó, \(\widehat {PAN} = 90^\circ \).
Vì MN vuông góc với BC, AH vuông góc với BC nên MN song song với AH hay MP song song với AH.
Do đó, \(\widehat P = \widehat {HAB}\) (hai góc đồng vị).
Tam giác ANP vuông tại A và tam giác HBA vuông tại H có:
\(\widehat P = \widehat {HAB}\) (cmt)
Do đó, ∆ANP ᔕ ∆HBA (hai góc nhọn bằng nhau).
Tam giác MCN vuông tại M và tam giác MPB vuông tại M có:
\(\widehat C = \widehat P\) (cùng phụ với góc B).
Do đó, ∆MCN ᔕ ∆MPB (hai góc nhọn bằng nhau).
b)
Ta có: \(\frac{{MB}}{{MC}} \cdot \frac{{NC}}{{NA}} \cdot \frac{{PA}}{{PB}} = \frac{{MB}}{{PB}} \cdot \frac{{NC}}{{NA}} \cdot \frac{{PA}}{{MC}}\).
Tam giác PMB có: PM song song với AH nên theo định lí Thalès ta có:
\(\frac{{MB}}{{MH}} = \frac{{PB}}{{PA}}\) hay \(\frac{{MB}}{{PB}} = \frac{{MH}}{{PA}}\).
Tam giác AHC có: MN song song với AH nên theo định lí Thales ta có:
\(\frac{{NC}}{{NA}} = \frac{{MC}}{{MH}}\).
Do đó, \(\frac{{MB}}{{MC}} \cdot \frac{{NC}}{{NA}} \cdot \frac{{PA}}{{PB}} = \frac{{MB}}{{PB}} \cdot \frac{{NC}}{{NA}} \cdot \frac{{PA}}{{MC}}\)\( = \frac{{MH}}{{PA}} \cdot \frac{{MC}}{{MH}} \cdot \frac{{PA}}{{MC}} = 1\).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Dành cho bạn Hot
Vào phòng luyện đề →Luyện đề →CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Lời giải
a)
Vì AD, BE, CF là các đường cao của tam giác ABC nên AD vuông góc với BC, BE vuông góc với AC, CF vuông góc với AB.
Tam giác AHE vuông ở H và tam giác BHD vuông ở D có:
\(\widehat {AHE} = \widehat {BHD}\) (hai góc đối đỉnh)
Do đó, ∆AHE ᔕ ∆BHD (góc nhọn).
Suy ra \(\frac{{AH}}{{BH}} = \frac{{HE}}{{HD}}\) nên HA . HD = HB . HE (1).
Tam giác HBF vuông ở F và tam giác HCE vuông ở E có:
\(\widehat {BHF} = \widehat {EHC}\) (hai góc đối đỉnh)
Do đó, ∆HBF ᔕ ∆HCE (góc nhọn).
Suy ra \(\frac{{HB}}{{HC}} = \frac{{HF}}{{HE}}\) nên HB . HE = HC . HF (2).
Từ (1) và (2) ta có: HA . HD = HB . HE = HC . HF.
b)
Tam giác AFC vuông ở F và tam giác AEB vuông ở E có:
\(\widehat {BAC}\) chung.
Do đó, ∆AFC ᔕ ∆AEB (góc nhọn)
Suy ra \(\frac{{AF}}{{AE}} = \frac{{AC}}{{AB}}\) nên AF . AB = AE . AC.
c)
Vì HA . HD = HB . HE nên \(\frac{{HA}}{{HE}} = \frac{{HB}}{{HD}}\)
Tam giác HAB và tam giác HED có:
\(\frac{{HA}}{{HE}} = \frac{{HB}}{{HD}}\) (cmt)
\(\widehat {AHB} = \widehat {EHD}\) (hai góc đối đỉnh)
Do đó, ∆AHB ᔕ ∆EHD (c.g.c).
Suy ra \(\widehat {HAB} = \widehat {HED}\).
Mà \(\widehat {HAB} + \widehat {FBD} = \widehat {HED} + \widehat {DEC}\) (= \(90^\circ \)).
Do đó, \(\widehat {FBD} = \widehat {DEC}\).
Chứng minh tương tự ta có: \(\widehat {BFD} = \widehat {ECD}\).
Tam giác BDF và tam giác EDC có:
\(\widehat {FBD} = \widehat {DEC}\) (cmt)
\(\widehat {BFD} = \widehat {ECD}\) (cmt)
Do đó, ∆BDF ᔕ ∆EDC (g.g).
Suy ra: \(\widehat {BDF} = \widehat {EDC}\).
Mà \[\widehat {BDF} + \widehat {FDH} = \widehat {EDC} + \widehat {HDE}\left( { = 90^\circ } \right)\].
Do đó, \(\widehat {FDH} = \widehat {HDE}\) hay \(\widehat {FDA} = \widehat {ADE}\).
Vậy DA là tia phân giác của góc EDF.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Lời giải
Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác ABC vuông tại A ta có:
BC2 = AB2 + AC2 = 62 + 82 = 100
Nên BC = 10 cm.
Vì AH là đường cao trong tam giác ABC nên AH vuông góc với BC.
Tam giác ABC vuông tại A và tam giác HAC vuông tại H có:
\(\widehat C\) chung
Do đó, ∆ABC ᔕ ∆HAC (góc nhọn).
Suy ra \(\frac{{AC}}{{HC}} = \frac{{BC}}{{AC}}\) nên CH = \(\frac{{C{A^2}}}{{CB}} = \frac{{{8^2}}}{{10}} = \frac{{32}}{5} = 6,4\) (cm).
Do đó, BH = BC – CH = 10 – 6,4 = 3,6 (cm).
Vì ∆ABC ᔕ ∆HAC (cmt) nên \(\frac{{AB}}{{HA}} = \frac{{BC}}{{AC}}\).
Do đó, AH = \(\frac{{AB \cdot AC}}{{BC}} = \frac{{6 \cdot 8}}{{10}} = 4,8\) (cm).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập