Câu hỏi:
11/07/2024 4,661
Cho hình vuông ABCD và M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC. Gọi O là giao điểm của CM và DN.
a) Chứng minh rằng CM ⊥ DN.
b) Biết AB = 4 cm, hãy tính diện tích tam giác ONC.
Cho hình vuông ABCD và M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC. Gọi O là giao điểm của CM và DN.
a) Chứng minh rằng CM ⊥ DN.
b) Biết AB = 4 cm, hãy tính diện tích tam giác ONC.
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Lời giải
a) Vì ABCD là hình vuông nên AB = BC = CD = DA;
và \(\widehat {DAB} = \widehat {ABC} = \widehat {BCD} = \widehat {CDA} = 90^\circ \).
Vì M là trung điểm của AB nên AM = MB = \(\frac{1}{2}\)AB.
Vì N là trung điểm của BC nên NB = NC = \(\frac{1}{2}\)BC.
Mà AB = BC nên AM = MB = NB = NC.
Xét tam giác CBM vuông ở B và tam giác DCN vuông ở C có:
MB = NC (cmt)
BC = CD (cmt)
Do đó, tam giác CBM và tam giác DCN bằng nhau (hai cạnh góc vuông).
Suy ra \(\widehat {BMC} = \widehat {DNC}\).
Mà \(\widehat {BMC} + \widehat {MCB} = 90^\circ \) nên \(\widehat {DNC} + \widehat {MCB} = 90^\circ \).
Tam giác CON có:
\(\widehat {ONC} + \widehat {OCN} = 90^\circ \) (do \(\widehat {DNC} + \widehat {MCB} = 90^\circ \)).
Nên \(\widehat {NOC} = 90^\circ \).
Do đó, CM vuông góc với DN tại O.
b) Ta có BC = CD = DA = AB = 4 cm; NC = \(\frac{1}{2}\)BC = \(\frac{1}{2}\)CD = 2 cm hay CD = 2NC.
Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác CND vuông tại C ta có:
ND2 = NC2 + CD2 = NC2 + (2NC)2 = 5NC2.
Do đó, \(\frac{{N{C^2}}}{{N{D^2}}} = \frac{1}{5}\). Suy ra \(\frac{{NC}}{{ND}} = \frac{1}{{\sqrt 5 }}\).
Xét tam giác NOC vuông tại O và tam giác CND vuông tại C có:
\(\widehat {ONC}\) chung
Do đó, ∆ONC ᔕ ∆CND (góc nhọn).
Suy ra \(\frac{{ON}}{{CN}} = \frac{{OC}}{{CD}} = \frac{{NC}}{{ND}} = \frac{1}{{\sqrt 5 }}\). Do đó, OC = \(\frac{1}{{\sqrt 5 }}\)CD; ON = \(\frac{1}{{\sqrt 5 }}\)CN.
Vậy diện tích tam giác ONC là:
\(S = \frac{1}{2}OC \cdot ON = \frac{1}{2}.\frac{1}{{\sqrt 5 }}CD \cdot \frac{1}{{\sqrt 5 }}CN = \frac{1}{{10}} \cdot 4 \cdot 2 = 0,8\) (cm2).Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
Bình luận
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Lời giải
a)
Vì AD, BE, CF là các đường cao của tam giác ABC nên AD vuông góc với BC, BE vuông góc với AC, CF vuông góc với AB.
Tam giác AHE vuông ở H và tam giác BHD vuông ở D có:
\(\widehat {AHE} = \widehat {BHD}\) (hai góc đối đỉnh)
Do đó, ∆AHE ᔕ ∆BHD (góc nhọn).
Suy ra \(\frac{{AH}}{{BH}} = \frac{{HE}}{{HD}}\) nên HA . HD = HB . HE (1).
Tam giác HBF vuông ở F và tam giác HCE vuông ở E có:
\(\widehat {BHF} = \widehat {EHC}\) (hai góc đối đỉnh)
Do đó, ∆HBF ᔕ ∆HCE (góc nhọn).
Suy ra \(\frac{{HB}}{{HC}} = \frac{{HF}}{{HE}}\) nên HB . HE = HC . HF (2).
Từ (1) và (2) ta có: HA . HD = HB . HE = HC . HF.
b)
Tam giác AFC vuông ở F và tam giác AEB vuông ở E có:
\(\widehat {BAC}\) chung.
Do đó, ∆AFC ᔕ ∆AEB (góc nhọn)
Suy ra \(\frac{{AF}}{{AE}} = \frac{{AC}}{{AB}}\) nên AF . AB = AE . AC.
c)
Vì HA . HD = HB . HE nên \(\frac{{HA}}{{HE}} = \frac{{HB}}{{HD}}\)
Tam giác HAB và tam giác HED có:
\(\frac{{HA}}{{HE}} = \frac{{HB}}{{HD}}\) (cmt)
\(\widehat {AHB} = \widehat {EHD}\) (hai góc đối đỉnh)
Do đó, ∆AHB ᔕ ∆EHD (c.g.c).
Suy ra \(\widehat {HAB} = \widehat {HED}\).
Mà \(\widehat {HAB} + \widehat {FBD} = \widehat {HED} + \widehat {DEC}\) (= \(90^\circ \)).
Do đó, \(\widehat {FBD} = \widehat {DEC}\).
Chứng minh tương tự ta có: \(\widehat {BFD} = \widehat {ECD}\).
Tam giác BDF và tam giác EDC có:
\(\widehat {FBD} = \widehat {DEC}\) (cmt)
\(\widehat {BFD} = \widehat {ECD}\) (cmt)
Do đó, ∆BDF ᔕ ∆EDC (g.g).
Suy ra: \(\widehat {BDF} = \widehat {EDC}\).
Mà \[\widehat {BDF} + \widehat {FDH} = \widehat {EDC} + \widehat {HDE}\left( { = 90^\circ } \right)\].
Do đó, \(\widehat {FDH} = \widehat {HDE}\) hay \(\widehat {FDA} = \widehat {ADE}\).
Vậy DA là tia phân giác của góc EDF.
Lời giải
Lời giải
Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác ABC vuông tại A ta có:
BC2 = AB2 + AC2 = 62 + 82 = 100
Nên BC = 10 cm.
Vì AH là đường cao trong tam giác ABC nên AH vuông góc với BC.
Tam giác ABC vuông tại A và tam giác HAC vuông tại H có:
\(\widehat C\) chung
Do đó, ∆ABC ᔕ ∆HAC (góc nhọn).
Suy ra \(\frac{{AC}}{{HC}} = \frac{{BC}}{{AC}}\) nên CH = \(\frac{{C{A^2}}}{{CB}} = \frac{{{8^2}}}{{10}} = \frac{{32}}{5} = 6,4\) (cm).
Do đó, BH = BC – CH = 10 – 6,4 = 3,6 (cm).
Vì ∆ABC ᔕ ∆HAC (cmt) nên \(\frac{{AB}}{{HA}} = \frac{{BC}}{{AC}}\).
Do đó, AH = \(\frac{{AB \cdot AC}}{{BC}} = \frac{{6 \cdot 8}}{{10}} = 4,8\) (cm).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
🔥 Đề thi HOT:
-
15 câu Trắc nghiệm Toán 8 Kết nối tri thức Bài 1: Đơn thức có đáp án
-
Bộ 10 đề thi cuối kì 2 Toán 8 Kết nối tri thức cấu trúc mới có đáp án (Đề 1)
-
15 câu Trắc nghiệm Toán 8 Chân trời sáng tạo Bài 1: Đơn thức và đa thức nhiều biến có đáp án
-
Đề kiểm tra cuối kỳ 2 Toán 8 có đáp án ( Mới nhất)_ đề 25
-
15 câu Trắc nghiệm Toán 8 Cánh diều Bài 1: Đơn thức nhiều biến. Đa thức nhiều biến có đáp án
-
Bộ 10 đề thi giữa kì 2 Toán 8 Kết nối tri thức cấu trúc mới có đáp án (Đề 1)
-
Đề kiểm tra cuối kỳ 2 Toán 8 có đáp án ( Mới nhất)_ đề 1
-
Đề cuối kì 2 Toán 8 Cánh diều cấu trúc mới có đáp án- Đề 2
Hãy Đăng nhập hoặc Tạo tài khoản để gửi bình luận
-
-
Bình luận