Câu hỏi:
11/07/2024 4,458
Cho hình vuông ABCD và M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC. Gọi O là giao điểm của CM và DN.
a) Chứng minh rằng CM ⊥ DN.
b) Biết AB = 4 cm, hãy tính diện tích tam giác ONC.
Cho hình vuông ABCD và M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC. Gọi O là giao điểm của CM và DN.
a) Chứng minh rằng CM ⊥ DN.
b) Biết AB = 4 cm, hãy tính diện tích tam giác ONC.
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Lời giải
a) Vì ABCD là hình vuông nên AB = BC = CD = DA;
và \(\widehat {DAB} = \widehat {ABC} = \widehat {BCD} = \widehat {CDA} = 90^\circ \).
Vì M là trung điểm của AB nên AM = MB = \(\frac{1}{2}\)AB.
Vì N là trung điểm của BC nên NB = NC = \(\frac{1}{2}\)BC.
Mà AB = BC nên AM = MB = NB = NC.
Xét tam giác CBM vuông ở B và tam giác DCN vuông ở C có:
MB = NC (cmt)
BC = CD (cmt)
Do đó, tam giác CBM và tam giác DCN bằng nhau (hai cạnh góc vuông).
Suy ra \(\widehat {BMC} = \widehat {DNC}\).
Mà \(\widehat {BMC} + \widehat {MCB} = 90^\circ \) nên \(\widehat {DNC} + \widehat {MCB} = 90^\circ \).
Tam giác CON có:
\(\widehat {ONC} + \widehat {OCN} = 90^\circ \) (do \(\widehat {DNC} + \widehat {MCB} = 90^\circ \)).
Nên \(\widehat {NOC} = 90^\circ \).
Do đó, CM vuông góc với DN tại O.
b) Ta có BC = CD = DA = AB = 4 cm; NC = \(\frac{1}{2}\)BC = \(\frac{1}{2}\)CD = 2 cm hay CD = 2NC.
Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác CND vuông tại C ta có:
ND2 = NC2 + CD2 = NC2 + (2NC)2 = 5NC2.
Do đó, \(\frac{{N{C^2}}}{{N{D^2}}} = \frac{1}{5}\). Suy ra \(\frac{{NC}}{{ND}} = \frac{1}{{\sqrt 5 }}\).
Xét tam giác NOC vuông tại O và tam giác CND vuông tại C có:
\(\widehat {ONC}\) chung
Do đó, ∆ONC ᔕ ∆CND (góc nhọn).
Suy ra \(\frac{{ON}}{{CN}} = \frac{{OC}}{{CD}} = \frac{{NC}}{{ND}} = \frac{1}{{\sqrt 5 }}\). Do đó, OC = \(\frac{1}{{\sqrt 5 }}\)CD; ON = \(\frac{1}{{\sqrt 5 }}\)CN.
Vậy diện tích tam giác ONC là:
\(S = \frac{1}{2}OC \cdot ON = \frac{1}{2}.\frac{1}{{\sqrt 5 }}CD \cdot \frac{1}{{\sqrt 5 }}CN = \frac{1}{{10}} \cdot 4 \cdot 2 = 0,8\) (cm2).
Nhà sách vietjack
Hot: Đề thi cuối kì 2 Toán, Văn, Anh.... file word có đáp án chi tiết lớp 1-12 form 2025 (chỉ từ 100k). Tải ngay
Bình luận
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho tam giác nhọn ABC có các đường cao AD, BE, CF cắt nhau ở H. Chứng minh rằng:
a) HA . HD = HB . HE = HC . HF;
b) ∆AFC ᔕ ∆AEB và AF . AB = AE . AC;
c) ∆BDF ᔕ ∆EDC và DA là tia phân giác của góc EDF.
Cho tam giác nhọn ABC có các đường cao AD, BE, CF cắt nhau ở H. Chứng minh rằng:
a) HA . HD = HB . HE = HC . HF;
b) ∆AFC ᔕ ∆AEB và AF . AB = AE . AC;
c) ∆BDF ᔕ ∆EDC và DA là tia phân giác của góc EDF.
Xem đáp án »
11/07/2024
76,025
Câu 2:
Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Biết rằng AB = 6 cm và AC = 8 cm, hãy tính độ dài các đoạn thẳng BC, AH, BH, CH.
Xem đáp án »
11/07/2024
13,932
Câu 3:
Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Từ H kẻ đường thẳng HE vuông góc với AB (E thuộc AB). Chứng minh rằng:
a) ∆ABC ᔕ ∆HAC và CA2 = CH . CB.
b) \(\frac{{AH}}{{BC}} = \frac{{HE}}{{AB}}\).
Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Từ H kẻ đường thẳng HE vuông góc với AB (E thuộc AB). Chứng minh rằng:
a) ∆ABC ᔕ ∆HAC và CA2 = CH . CB.
b) \(\frac{{AH}}{{BC}} = \frac{{HE}}{{AB}}\).
Xem đáp án »
11/07/2024
11,786
Câu 4:
Cho tam giác nhọn ABC có các đường cao AD, BE, CF. Chứng minh rằng:
a) ∆BDF ᔕ ∆BAC và ∆CDE ᔕ ∆CAB;
b) BF . BA + CE . CA = BC2.
Cho tam giác nhọn ABC có các đường cao AD, BE, CF. Chứng minh rằng:
a) ∆BDF ᔕ ∆BAC và ∆CDE ᔕ ∆CAB;
b) BF . BA + CE . CA = BC2.
Xem đáp án »
11/07/2024
8,773
Câu 5:
Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Cho M là một điểm nằm trên cạnh BC (M nằm giữa C và H). Kẻ đường thẳng qua M vuông góc với BC lần lượt cắt AC và tia đối của tia AB tại N và P. Chứng minh rằng:
a) ∆ANP ᔕ ∆HBA và ∆MCN ᔕ ∆MPB;
b) \(\frac{{MB}}{{MC}} \cdot \frac{{NC}}{{NA}} \cdot \frac{{PA}}{{PB}} = 1\).
Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Cho M là một điểm nằm trên cạnh BC (M nằm giữa C và H). Kẻ đường thẳng qua M vuông góc với BC lần lượt cắt AC và tia đối của tia AB tại N và P. Chứng minh rằng:
a) ∆ANP ᔕ ∆HBA và ∆MCN ᔕ ∆MPB;
b) \(\frac{{MB}}{{MC}} \cdot \frac{{NC}}{{NA}} \cdot \frac{{PA}}{{PB}} = 1\).
Xem đáp án »
11/07/2024
2,940
Câu 6:
Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Gọi M, N lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ H xuống AB và AC. Chứng minh rằng:
a) AM . AB = AH2 và AM . AB = AN . AC.
b) ∆AMN ᔕ ∆ACB.
Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Gọi M, N lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ H xuống AB và AC. Chứng minh rằng:
a) AM . AB = AH2 và AM . AB = AN . AC.
b) ∆AMN ᔕ ∆ACB.
Xem đáp án »
30/10/2023
2,670
🔥 Đề thi HOT:
-
Đề kiểm tra Cuối kì 1 Toán 8 KNTT có đáp án (Đề 1)
-
Bộ 5 đề thi giữa kì 2 Toán 8 Kết nối tri thức cấu trúc mới có đáp án (Đề 1)
-
10 Bài tập Bài toán thực tiễn gắn với việc vận dụng định lí Thalès (có lời giải)
-
Bộ 10 đề thi cuối kì 2 Toán 8 Kết nối tri thức cấu trúc mới có đáp án (Đề 1)
-
15 câu Trắc nghiệm Toán 8 Kết nối tri thức Bài 1: Đơn thức có đáp án
-
Bộ 10 đề thi giữa kì 2 Toán 8 Cánh diều cấu trúc mới có đáp án (Đề 1)
-
10 Bài tập Các bài toán thực tiễn gắn với việc vận dụng định lí Pythagore (có lời giải)
-
10 Bài tập Nhận biết hai hình đồng dạng, hai hình đồng dạng phối cảnh (có lời giải)
Hãy Đăng nhập hoặc Tạo tài khoản để gửi bình luận
-
-
Bình luận