Cho tam giác ABC có diện tích \(64{\rm{ c}}{{\rm{m}}^2}\). Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho \(AM = \frac{1}{4}AB\). Trên cạnh AC lấy điểm N sao cho \(AN = \frac{1}{4}AC\). Nối B với N.

a) Tính diện tích tam giác BNC

b) Tính tỉ số diện tích tam giác AMN và tam giác ABC.

c) Qua A vẽ một đường thẳng cắt MN ở K và cắt BC ở E. Tính tỷ số \(\frac{{KE}}{{AK}}\)

Chiều cao của tam giác ABC (hạ từ đỉnh C) cũng bằng chiều cao của hình thang và bằng chiều cao hạ từ A của tam giác ADC và nó bằng:

\(2 \times 54:10,8 = 10{\rm{ (cm)}}\)

Diện tích tam giác ADC là: \(27 \times 10:2 = 135{\rm{ (c}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}\)

Đáp Số: \(135{\rm{ c}}{{\rm{m}}^2}\).

a) Hai tam giác CAB và CEB có chung đường cao hạ từ C xuống AB và \(EB = \frac{{AB}}{2}\) nên: \({S_{CEB}} = \frac{1}{2}{S_{CAB}}{\rm{ (1)}}\)

Hai tam giác BAC và BDC có chung đường cao hạ từ B xuống AC và \(DC = \frac{{AC}}{2}\) nên:

\({S_{BDC}} = \frac{1}{2}{S_{BAC}}{\rm{ (2)}}\)

Từ (1) và (2) suy ra: \({S_{CEB}} = {S_{BDC}}\)

Hai hình tam giác này có phần chung là tam giác GBC do đó: \({S_{GBE}} = {S_{BCD}}{\rm{ (3)}}\)

b) Hai tam giác GBE và GAE có chung đường cao vẽ từ G xuống AB và \(EA = EB\) nên \({S_{GBE}} = {S_{GAE}}{\rm{ (4)}}\)

Hai tam giác GDA và GDC có chung đường cao vẽ từ G xuống AC và \(DA = EC\) nên \({S_{GDA}} = {S_{GDC}}{\rm{ (5)}}\)

Từ (3), (4) và (5) ta có: \({S_{GAB}} = {S_{GAC}}{\rm{ (6)}}\)

Hai tam giác ABD và CBD có chung đường cao hạ từ B xuống AC và \(DA = DC\) nên \({S_{ABD}} = {S_{CBD}}\)

Mà hai tam giác này chứa hai hình tam giác có diện tích bằng nhau (\({S_{GDC}} = {S_{GDA}}\)).

Vậy: \({S_{GAB}} = {S_{GBC}} = {S_{GAC}}\)

c) Theo (6) và hai tam giác này có chung đáy AG nên hai đường cao (vẽ từ B và C xuống AG) bằng nhau.

- Hai đường cao này cũng là hai đường cao của hai hình tam giác BGM và CGM vẽ từ B và C xuống GM. Mặt khác hai tam giác này lại có chung đáy GM nên \({S_{BGM}} = {S_{CGM}}\)

- Mà hai tam giác này lại có chung đường cao vẽ từ G xuống BC. Do đó hai đáy \(BM = CM\)