Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho \(BM = \frac{1}{3}AB\). Trên cạnh AC lấy điểm N sao cho \(AN = \frac{1}{4}AC\). Trên cạnh BC lấy điểm E sao cho E là điểm chính giữa cạnh BC.

a) Chứng tỏ rằng \({S_{MNCB}} = \frac{5}{6}{S_{ABC}}\)

b) Chứng tỏ rằng \({S_{AMN}} = {S_{EMB}}\)

c) Biết \({S_{ABC}} = 24c{m^2}\). Tính \({S_{EMN}}\)

a) Ta có \({S_{ABC}} = \frac{{AB \times AC}}{2}\) (1)

\(BM = \frac{1}{3}AB \Rightarrow AM = \frac{2}{3}AB\)

Ta có: \({S_{AMN}} = \frac{{AM \times AN}}{2} = \frac{1}{2} \times \left( {\frac{2}{3}AB} \right) \times \left( {\frac{1}{4}AC} \right) = \frac{1}{{12}} \times AB \times AC = \frac{1}{6} \times \frac{{AB \times AC}}{2}\) (2)

Từ (1), (2): \({S_{AMN}} = \frac{1}{6}{S_{ABC}}\) (3)

Vì \({S_{AMN}} + {S_{MNCB}} = {S_{ABC}}\) nên \({S_{MNCB}} = \frac{5}{6}{S_{ABC}}\)

b) Nối A với E. Vì E là điểm chính giữa BC nên \(BE = EC = \frac{1}{2}BC\).

Ta có: \({S_{EMB}} = \frac{1}{3}{S_{EAB}}\) (Vì có chung chiều cao hạ từ E và có đáy \(MB = \frac{1}{3}AB\))

\({S_{EAB}} = \frac{1}{2}{S_{ABC}}\) (Vì có chung chiều cao hạ từ A và có đáy \(BE = \frac{1}{2}BC\))

Suy ra: \({S_{EMB}} = \frac{1}{3} \times \frac{1}{2}{S_{ABC}} = \frac{1}{6}{S_{ABC}}\) (4)

Từ (3), (4): \({S_{AMN}} = {S_{EMB}}\)

c) Vì \(AN = \frac{1}{4}AC\) nên \(NC = \frac{3}{4}AC\)

Ta có:

\({S_{ENC}} = \frac{3}{4}{S_{AEC}}\) (Vì có chung chiều cao hạ từ E và có đáy \(NC = \frac{3}{4}AC\))

\({S_{AEC}} = \frac{1}{2}{S_{ABC}}\) (Vì có chung chiều cao hạ từ A và có đáy \(EC = \frac{1}{2}BC\))

Suy ra \({S_{ENC}} = \frac{3}{4} \times \frac{1}{2}{S_{ABC}} = \frac{3}{8}{S_{ABC}}\) (5)

Ta có \({S_{EMN}} = {S_{ABC}} - {S_{AMN}} - {S_{EMB}} - {S_{ENC}}\)

Từ (3), (4) và (5) ta có \({S_{EMN}} = {S_{ABC}} - \frac{1}{6}{S_{ABC}} - \frac{1}{6}{S_{ABC}} - \frac{3}{8}{S_{ABC}}\)

\( = (1 - \frac{1}{6} - \frac{1}{6} - \frac{3}{8}) \times {S_{ABC}} = \frac{7}{{24}}{S_{ABC}} = \frac{7}{{24}} \times 24 = 7(c{m^2})\)