Trong Hình 11, đường viền bóng của đèn ngủ lên tường là đồ thị của hàm số y = \[55 - \frac{1}{2}\sqrt {{x^2} + 144} \] với x và y tính bằng đơn vị centimét. Chứng minh rằng y = \[55 - \frac{1}{2}x\] là một tiệm cận xiên của đồ thị hàm số này.

a) Sau 1 phút, ta có: khối lượng muối trong bể là 25 . 30 . t = 750t (gam); thể tích của lượng nước trong bể là 5 000 + 25t (lít). Vậy nồng độ muối sau 1 phút là \[f(t) = \frac{{750t}}{{5000 + 25t}} = \frac{{30t}}{{200 + t}}\] (gam/lít).

b) Ta có: \[\mathop {\lim }\limits_{t \to  + \infty } f(t) = \mathop {\lim }\limits_{t \to  + \infty } \frac{{30t}}{{200 + t}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to  + \infty } \left( {30 - \frac{{6000}}{{200 + t}}} \right) = 30\]

Vậy đường thẳng y = 30 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số f(t).

c) Ta có đồ thị hàm số y = f(t) nhận đường thẳng y = 30 làm tiệm cận ngang, tức là khi t càng lớn thì nồng độ muối trong bể sẽ tiến gần đến mức 30 (gam/lít). Lúc đó, nồng độ muối trong bể sẽ gần như bằng nồng độ muối trong nước muối được bơm vào bể.

Ta có: \(f(x) = \frac{{C(x)}}{x} = \frac{{2x + 50}}{x}\)

Vì \({f^\prime }(x) = \frac{{ - 50}}{{{x^2}}} < 0\) với mọi số thực \({\rm{x}}\) nên hàm số \(f(x) = \frac{{C(x)}}{x}\) giảm.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{2x + 50}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{2 + \frac{{50}}{x}}}{1} = 2{\rm{ (dpcm) }}\)

Tính chất này nói lên: Khi sản xuất càng nhiều sản phầm thì chi phí sản xuất trung bình cho mỗi sản phẩm càng giảm, nhưng không dưới 2 .