Câu hỏi:

04/08/2025 4 Lưu

Một công ty sản xuất đồ gia dụng ước tính chi phí để sản xuất x (sản phẩm) là C(x)=2x+50 (triệu đồng). Khi đó \[f(x) = \frac{{C(x)}}{x}\] là chi phí sản xuất trung bình cho mỗi sản phẩm. Chứng tỏ rằng hàm số f(x) giảm và \[\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f(x) = 2\]. Tính chất này nói lên điều gì?

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

Ta có: \(f(x) = \frac{{C(x)}}{x} = \frac{{2x + 50}}{x}\)

Vì \({f^\prime }(x) = \frac{{ - 50}}{{{x^2}}} < 0\) với mọi số thực \({\rm{x}}\) nên hàm số \(f(x) = \frac{{C(x)}}{x}\) giảm.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{2x + 50}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{2 + \frac{{50}}{x}}}{1} = 2{\rm{ (dpcm) }}\)

Tính chất này nói lên: Khi sản xuất càng nhiều sản phầm thì chi phí sản xuất trung bình cho mỗi sản phẩm càng giảm, nhưng không dưới 2 .

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

a) Sau 1 phút, ta có: khối lượng muối trong bể là 25 . 30 . t = 750t (gam); thể tích của lượng nước trong bể là 5 000 + 25t (lít). Vậy nồng độ muối sau 1 phút là \[f(t) = \frac{{750t}}{{5000 + 25t}} = \frac{{30t}}{{200 + t}}\] (gam/lít).

b) Ta có: \[\mathop {\lim }\limits_{t \to  + \infty } f(t) = \mathop {\lim }\limits_{t \to  + \infty } \frac{{30t}}{{200 + t}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to  + \infty } \left( {30 - \frac{{6000}}{{200 + t}}} \right) = 30\]

Vậy đường thẳng y = 30 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số f(t).

c) Ta có đồ thị hàm số y = f(t) nhận đường thẳng y = 30 làm tiệm cận ngang, tức là khi t càng lớn thì nồng độ muối trong bể sẽ tiến gần đến mức 30 (gam/lít). Lúc đó, nồng độ muối trong bể sẽ gần như bằng nồng độ muối trong nước muối được bơm vào bể.

Lời giải

Tập xác định: D = ℝ.

Ta có: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \] [\[55 - \frac{1}{2}\sqrt {{x^2} + 144} \]−(\[55 - \frac{1}{2}x\])] = 0

Tương tự ta cũng có: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \] [\[55 - \frac{1}{2}\sqrt {{x^2} + 144} \]−(\[55 - \frac{1}{2}x\])] = 0

Do đó y = \[55 - \frac{1}{2}x\] là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = \[55 - \frac{1}{2}\sqrt {{x^2} + 144} \].