Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = {\sin ^3}x - {\rm{cos2}}x + {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + 2\) bằng \(\frac{{23}}{{27}}\)

Ta có \(y = {\sin ^3}x - {\rm{cos2}}x + {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + 2\)

\(\,\,\,\, = {\sin ^3}x - \left( {1 - 2{{\sin }^2}x} \right) + {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + 2\)

\(\,\,\,\, = {\sin ^3}x + 2{\sin ^2}x + {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + 1\)

Đặt \(t = {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx;}}\,\,{\rm{t}} \in \left[ { - 1\,;\,1} \right]\). Đưa về bài toán tìm trị nhỏ nhất của hàm số\(f(t) = {t^3} + 2{t^2} + t + 1\) trên \(\left[ { - 1\,;\,1} \right]\).

Ta có \(f'(t) = 3{t^2} + 4t + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t =  - 1 \in \left[ { - 1\,;\,1} \right]}\\{t = \frac{{ - 1}}{3} \in \left[ { - 1\,;\,1} \right]}\end{array}} \right.\).

Mà \(f\left( { - 1} \right) = 1;\,f\left( {\frac{{ - 1}}{3}} \right) = \frac{{23}}{{27}};\,f\left( 1 \right) = 5\) nên giá trị nhỏ nhất của hàm số là \(\frac{{23}}{{27}}\). Chọn Đ