Giá trị lớn nhất của hàm số \(y = {\cos ^3}x + 2{\sin ^2}x + \cos x\)bằng \(\max y = 2\)

Ta có: \(y = {\cos ^3}x + 2{\sin ^2}x + \cos x = {\cos ^3}x - 2{\cos ^2}x + \cos x + 2\)

Đặt \(t = \cos \,x\), điều kiện: \(t \in \left[ { - 1\,;\,1\,} \right]\).

Khi đó: \(y = f\left( t \right) = {t^3} - 2{t^2} + t + 2\)xét với \(t \in \left[ { - 1\,;\,1\,} \right]\).

Ta có: \(f'\left( t \right) = 3{t^2} - 4t + 1\,\); \(f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow 3{t^2} - 4t + 1\, = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1 \in \left[ { - 1;\,1\,} \right]\\t = \frac{1}{3} \in \left[ { - 1;\,1\,} \right]\end{array} \right.\)

Lại có: \(f\left( { - 1} \right) =  - 2\,;\,f\left( 1 \right) = 2\,;\,f\left( {\frac{1}{3}} \right) = \frac{{58}}{{27}}\).

Nên \(\max y = \frac{{58}}{{27}}\). Chọn S