Người ta cần xây một hồ chứa nư­ớc với dạng khối hộp chữ nhật không nắp có thể tích bằng \(\frac{{500}}{3}{{\rm{m}}^3}\). Đáy hồ là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Giá thuê nhân công để xây hồ là \(500.000\)đồng/m2. Hãy xác định kích th­ước của hồ nước sao cho chi phí thuê nhân công thấp nhất và chi phí đó là \[75\]triệu đồng.

Giả sử khối hộp chữ nhật là \(ABCD.A'B'C'D'\)và \(AB = x\), \(AD = 2x\)và \[AA' = h\](\(x,\,h > 0\)).

Ta có \(V = x.2x.h\)\( \Leftrightarrow 2{x^2}h = \frac{{500}}{3}\)\( \Leftrightarrow h = \frac{{250}}{{3{x^2}}}\).

Diện tích cần xây là \(S = 2{x^2} + 2\left( {xh + 2xh} \right)\)\( = 2{x^2} + 6xh\).

Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của \(S = 2{x^2} + \frac{{500}}{x}\)với \(x > 0\).

Ta có \(2{x^2} + \frac{{250}}{x} + \frac{{250}}{x} \ge 3\sqrt[3]{{2{x^2}.\frac{{250}}{x}.\frac{{250}}{x}}}\)\( \Leftrightarrow 2{x^2} + \frac{{250}}{x} + \frac{{250}}{x} \ge 150\).

Dấu đẳng thức xảy ra khi \(2{x^2} = \frac{{250}}{x}\)\( \Leftrightarrow x = 5\).

\(S\)nhỏ nhất là \(150\)khi \(x = 5\).

Số tiền chi phí là \(150.500000 = 75000000\)hay \(75\)triệu đồng. Chọn Đ