Một sợi dây kim loại dài $a$$\left( {{\rm{cm}}} \right)$. Người ta cắt đoạn dây đó thành hai đoạn có độ dài $x$$\left( {{\rm{cm}}} \right)$được uốn thành đường tròn và đoạn còn lại được uốn thành hình vuông $\left( {a > x > 0} \right).$Tìm $x$để hình vuông và hình tròn tương ứng có tổng diện tích nhỏ nhất là $x = \frac{{\pi a}}{{\pi + 4}}\left( {{\rm{cm}}} \right)$

Câu hỏi trong đề: (Đúng sai) 24 bài tập GTLN, GTNN của hàm số (có lời giải) !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

$(Đúng hay sai) Một sợi dây kim loại dài $a$$\left( {{\rm{cm}}} \right)$. Người ta cắt đoạn dây đó thành hai đoạn có độ dài $x$$\left( {{\rm{cm}}} \right)$được uốn thành đường tròn và đoạn còn lại được uốn thành hình vuông $\left( {a > x > 0} \right).$Tìm $x$để hình vuông và hình tròn tương ứng có tổng diện tích nhỏ nhất là $x = \frac{{\pi a}}{{\pi + 4}}\left( {{\rm{cm}}} \right)$ (ảnh 1)$

Do $x$là độ dài của đoạn dây cuộn thành hình tròn $\left( {0 < x < a} \right)$.

Suy ra chiều dài đoạn còn lại là $a - x$.

Chu vi đường tròn: $2\pi r = x$$ \Rightarrow r = \frac{x}{{2\pi }}$.

Diện tích hình tròn: ${S_1} = \pi .{r^2}$$ = \frac{{{x^{\rm{2}}}}}{{4\pi }}$.

Diện tích hình vuông: ${S_2} = {\left( {\frac{{a - x}}{4}} \right)^2}$.

Tổng diện tích hai hình: $S = \frac{{{x^2}}}{{4\pi }} + {\left( {\frac{{a - x}}{4}} \right)^2}$$ = \frac{{\left( {4 + \pi } \right).{x^2} - 2a\pi x + \pi {a^2}}}{{16\pi }}$.

Đạo hàm: $S' = \frac{{\left( {4 + \pi } \right).x - a\pi }}{{8\pi }}$; $S' = 0$$ \Leftrightarrow x = \frac{{a\pi }}{{4 + \pi }}$.

Suy ra hàm $S$chỉ có một cực trị và là cực tiểu tại $x = \frac{{a\pi }}{{4 + \pi }}$.

Do đó $S$đạt giá trị nhỏ nhất tại $x = \frac{{a\pi }}{{4 + \pi }}$. Chọn Đ

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x) = {x^3} + 3{x^2} - 9x - 7$ trên đoạn $[ - 4;0]$ bằng\[ - 7\]

Xem đáp án

Lời giải

Ta có $f'(x) = 3{x^2} + 6x - 9$; $f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1{\rm{ (Loa\"i i)}}\\x = - 3{\rm{ (TM)}}\end{array} \right.$

$f( - 4) = 13;f(0) = - 7;f( - 3) = 20$

Vậy GTNN của hàm số $f(x) = {x^3} + 3{x^2} - 9x - 7$trên đoạn $[ - 4;0]$ là -7. Chọn Đ

Câu 2

Công ty xe khách Thiên Ân dự định tăng giá vé trên mỗi hành khách. Hiện tại giá vé là $50.000$ VNĐ một khách và có $10.000$ khách trong một tháng. Nhưng nếu tăng giá vé thêm $1.000$ VNĐ một hành khách thì số khách sẽ giảm đi $50$ người mỗi tháng. Hỏi công ty sẽ tăng giá vé là bao nhiêu đối với một khách để có lợi nhuận lớn nhất là $35.000$ VNĐ.

Xem đáp án

Lời giải

Gọi $x$ (nghìn VNĐ) là số tiền công ty sẽ tăng thêm đối với một khách. Khi đó số khách sẽ giảm đi là $50x$ khách nên còn $10.000 - 50x$ khách. Khi đó, $10.000 - 50x > 0$ $ \Leftrightarrow x < 200$.

Khi đó số tiền thu được sau khi tăng giá vé là $f\left( x \right) = \left( {50 + x} \right)\left( {10.000 - 50x} \right)$.

Ta có $f\left( x \right) = 50\left( {50 + x} \right)\left( {200 - x} \right) \le 50{\left( {\frac{{50 + x + 200 - x}}{2}} \right)^2} = 781250$ (nghìn VNĐ).

Vậy số tiền thu được tăng thêm lớn nhất là $781250 - 50 \times 10.000 = 281.250$ nghìn VNĐ khi $50 + x = 200 - x$ $ \Leftrightarrow x = 75$ nghìn VNĐ. Chọn S

Câu 3