Một sợi dây kim loại dài \(60{\rm{cm}}\) được cắt thành hai đoạn. Đoạn thứ nhất được uốn thành một hình vuông, đoạn thứ hai được uốn thành một vòng tròn. Hỏi khi tổng diện tích của hình vuông và hình tròn ở trên nhỏ nhất thì chiều dài đoạn dây uốn thành hình vuông bằng \(30,54{\rm{cm}}\)

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: (Đúng sai) 24 bài tập GTLN, GTNN của hàm số (có lời giải) !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Gọi chiều dài đoạn dây uốn thành hình vuông là \(x\,{\rm{cm}}\). Điều kiện: \(0 \le x \le 60\)

Độ dài cạnh hình vuông là \(\frac{x}{4}\)

Chiều dài đoạn dây uốn thành hình tròn là \(\left( {60 - x} \right)\,{\rm{cm}}\)

Bán kính vòng tròn là \(2\pi R = \left( {60 - x} \right) \Leftrightarrow R = \frac{{60 - x}}{{2\pi }}\)

Tổng diện tích của hình vuông và hình tròn là \({\left( {\frac{x}{4}} \right)^2} + \pi {R^2} = {\left( {\frac{x}{4}} \right)^2} + \pi {\left( {\frac{{60 - x}}{{2\pi }}} \right)^2}\)

\( = {\frac{x}{{16}}^2} + \frac{{{{\left( {60 - x} \right)}^2}}}{{4\pi }} = \frac{{\left( {\pi + 4} \right){x^2} - 480x + 14400}}{{16\pi }} = f\left( x \right)\)

Hàm số \(f\left( x \right)\) đạt giá trị nhỏ nhất tại \(x = \frac{{480}}{{2\left( {\pi + 4} \right)}} \approx 33,61\). Chọn S

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f(x) = {x^3} + 3{x^2} - 9x - 7\) trên đoạn \([ - 4;0]\) bằng\[ - 7\]

Xem đáp án

Lời giải

Ta có \(f'(x) = 3{x^2} + 6x - 9\); \(f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1{\rm{ (Loa\"i i)}}\\x = - 3{\rm{ (TM)}}\end{array} \right.\)

\(f( - 4) = 13;f(0) = - 7;f( - 3) = 20\)

Vậy GTNN của hàm số \(f(x) = {x^3} + 3{x^2} - 9x - 7\)trên đoạn \([ - 4;0]\) là -7. Chọn Đ

Câu 2

Công ty xe khách Thiên Ân dự định tăng giá vé trên mỗi hành khách. Hiện tại giá vé là \(50.000\) VNĐ một khách và có \(10.000\) khách trong một tháng. Nhưng nếu tăng giá vé thêm \(1.000\) VNĐ một hành khách thì số khách sẽ giảm đi \(50\) người mỗi tháng. Hỏi công ty sẽ tăng giá vé là bao nhiêu đối với một khách để có lợi nhuận lớn nhất là \(35.000\) VNĐ.

Xem đáp án

Lời giải

Gọi \(x\) (nghìn VNĐ) là số tiền công ty sẽ tăng thêm đối với một khách. Khi đó số khách sẽ giảm đi là \(50x\) khách nên còn \(10.000 - 50x\) khách. Khi đó, \(10.000 - 50x > 0\) \( \Leftrightarrow x < 200\).

Khi đó số tiền thu được sau khi tăng giá vé là \(f\left( x \right) = \left( {50 + x} \right)\left( {10.000 - 50x} \right)\).

Ta có \(f\left( x \right) = 50\left( {50 + x} \right)\left( {200 - x} \right) \le 50{\left( {\frac{{50 + x + 200 - x}}{2}} \right)^2} = 781250\) (nghìn VNĐ).

Vậy số tiền thu được tăng thêm lớn nhất là \(781250 - 50 \times 10.000 = 281.250\) nghìn VNĐ khi \(50 + x = 200 - x\) \( \Leftrightarrow x = 75\) nghìn VNĐ. Chọn S

Câu 3