Một sợi dây kim loại dài \(60{\rm{cm}}\) được cắt thành hai đoạn. Đoạn thứ nhất được uốn thành một hình vuông, đoạn thứ hai được uốn thành một vòng tròn. Hỏi khi tổng diện tích của hình vuông và hình tròn ở trên nhỏ nhất thì chiều dài đoạn dây uốn thành hình vuông bằng \(30,54{\rm{cm}}\)

Ta có \(f'(x) = 3{x^2} + 6x - 9\); \(f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1{\rm{    (Loa\"i i)}}\\x =  - 3{\rm{ (TM)}}\end{array} \right.\)

\(f( - 4) = 13;f(0) =  - 7;f( - 3) = 20\)

Vậy GTNN của hàm số \(f(x) = {x^3} + 3{x^2} - 9x - 7\)trên đoạn \([ - 4;0]\) là -7. Chọn Đ

Xét hàm số \(y = {x^2} + \frac{2}{x}\) xác định và liên tục trên \(\left[ {\frac{1}{2};2} \right]\)

\(y' = 2x - \frac{2}{{{x^2}}}\)

Xét trên khoảng \(\left( {\frac{1}{2};2} \right)\), phương trình \(y' = 0\) có nghiệm \(x = 1\).

\(y\left( {\frac{1}{2}} \right) = \frac{{17}}{4}\); \(y\left( 1 \right) = 3\); \(y\left( 2 \right) = 5\).

Vậy \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {\frac{1}{2};1} \right]} y = y\left( 1 \right) = 3\) và \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {\frac{1}{2};1} \right]} y = y\left( 2 \right) = 5\). Tích giá trị lớn nhất và giái trị nhỏ nhất của hàm số \(y = {x^2} + \frac{2}{x}\) trên đoạn \(\left[ {\frac{1}{2};2} \right]\) bằng 15. Chọn S