Câu hỏi:

19/08/2025 34 Lưu

Trong 20 phút theo dôi, lưu lượng nước của một con sông được tính theo công thức \({\rm{Q}}\left( {\rm{t}} \right) =  - \frac{1}{5}{t^3} + 5{t^2} + 100\), trong đó Q được tính theo \({{\rm{m}}^3}/\) phút, \({\rm{t}}\) tính theo phút, \(0 \le {\rm{t}} \le 20\) (Nguồn: A. Bigalke et al., Mathematik, Grundkurs ma-1, Cornelsen 2016). Khi lưu lượng nước của con sông lên đến \(550{\rm{\;}}{{\rm{m}}^3}/\) phút thì cảnh báo lũ được đưa ra.

(Trả lời ngắn) Trong 20 phút theo dôi, lưu lượng nước của một con sông được tính theo công thức Q(t) = -1/5t^3 + 5t^2 + 100 (ảnh 1)

Trong thời gian theo dōi, lưu lượng nước của con sông lớn nhất là bao nhiêu? Cảnh báo lũ được đưa ra vào thời điếm nào?

Quảng cáo

Trả lời:

verified Giải bởi Vietjack

Xét hàm số \({\rm{Q}}\left( {\rm{t}} \right) =  - \frac{1}{5}{t^3} + 5{t^2} + 100\) với \({\rm{t}} \in \left[ {0;20} \right]\).

Ta có \({\rm{Q}}\left( {\rm{t}} \right) =  - \frac{3}{5}{t^2} + 10t\);

\({\rm{Q'}}\left( {\rm{t}} \right) = 0 \Leftrightarrow  - \frac{3}{5}{t^2} + 10t = 0 \Leftrightarrow t = \frac{{50}}{3}\) hoă̆ct \( = 0\).

Bảng biến thiên của hàm số trên đoạn [0; 20] như sau:

(Trả lời ngắn) Trong 20 phút theo dôi, lưu lượng nước của một con sông được tính theo công thức Q(t) = -1/5t^3 + 5t^2 + 100 (ảnh 2)

Từ bảng biến thiên suy ra  tại \(t = \frac{{50}}{3}\), tức là lưu lượng nước của con sông lớn nhất là \(\frac{{15200}}{{27}}\) \({{\rm{m}}^3}/\) phút tại thời điểm \(t = \frac{{50}}{3}\) phút.

Cảnh báo lũ được đưa ra khi lưu lượng nước của con sông lên đến \(550{\rm{\;}}{{\rm{m}}^3}/\) phút, tức là \(Q\left( t \right) \ge 550 \Leftrightarrow \) \( - \frac{1}{5}{t^3} + 5{t^2} + 100 \ge 550 \Leftrightarrow  - \frac{1}{5}{t^3} + 5{t^2} + 450 \ge 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{t}} \le 5 - 5\sqrt 7 }\\{15 \le {\rm{t}} \le 5 + 5\sqrt 7 }\end{array}} \right.\).

Lại có \({\rm{t}} \in \left[ {0;20} \right]\) nên \(15 \le t \le 5 + 5\sqrt 7 \).

Vậy tại thời điếm \(t \in \left[ {15;5 + 5\sqrt 7 } \right]\) phút thì cảnh báo lũ được đưa ra.

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Đổi 1 lít = 1000 cm3 .

Gọi r (cm)  là bán kính đáy của hình trụ, h (cm)  là chiều cao của hình trụ.

Diện tích toàn phần của hình trụ là: S = 2πr2 + 2πrh .

Do thể tích của hình trụ là 1000 cm3 nên ta có: 1000 = V = πr2h, hay h = 1000πr2 .

Do đó, diện tích toàn phần của hình trụ là: S = 2πr2 + 2000r, r > 0

Ta cần tìm r  sao cho S  đạt giá trị nhỏ nhất. Ta có:

Một nhà sản xuất cần làm những hộp đựng hình trụ có thể tích 1 lít. Tìm các kích thước của hộp đựng để chi phí vật liệu dùng để sản xuất  (ảnh 1)

Bảng biến thiên:

Một nhà sản xuất cần làm những hộp đựng hình trụ có thể tích 1 lít. Tìm các kích thước của hộp đựng để chi phí vật liệu dùng để sản xuất  (ảnh 2)

Khi đó: h = 1000πr2=1000π3250000π2=100250π3

Vậy cần sản xuất các hộp đựng hình trụ có bán kính đáy r = 500π35.42 (cm) và chiều cao h = 100250π310.84 (cm) .

Lời giải

a) Do đồ thị hàm số giao với trục hoành tại các điểm x = 20; x = 50, x = 100 nên phương trình f(x) = 0 có 3 nghiệm 20, 50, 100, từ đó ta có: y = a(x – 20)(x – 50)(x – 100).

Mặt khác, tại điểm x = 0 ta có y = 50, suy ra: 50 = a(0 – 20)(0 – 50 )(0 – 100) hay a = \[ - \frac{1}{{2000}}\].

Suy ra: \[y =  - \frac{1}{{2000}}\left( {x - 20} \right)\left( {x - 50} \right)\left( {x - 100} \right) =  - \frac{1}{{2000}}{x^3} + \frac{{17}}{{200}}{x^2} - 4x + 50\].

b) Các điểm cần thìm chính là các điểm cực trị của hàm số: \[y = f(x) =  - \frac{1}{{2000}}{x^3} + \frac{{17}}{{200}}{x^2} - 4x + 50\]

\[y' =  - \frac{3}{{2000}}{x^2} + 1\frac{{17}}{{200}}x - 4 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{100}}{3};x = 80\]

Ta có các điểm cực trị của hàm số f(x) là \[A\left( {\frac{{10}}{3}; - \frac{{200}}{{27}}} \right);B\left( {80;18} \right)\]

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP