Câu hỏi:

19/08/2025 351

Trong 20 phút theo dôi, lưu lượng nước của một con sông được tính theo công thức ${\rm{Q}}\left( {\rm{t}} \right) = - \frac{1}{5}{t^3} + 5{t^2} + 100$, trong đó Q được tính theo ${{\rm{m}}^3}/$ phút, ${\rm{t}}$ tính theo phút, $0 \le {\rm{t}} \le 20$ (Nguồn: A. Bigalke et al., Mathematik, Grundkurs ma-1, Cornelsen 2016). Khi lưu lượng nước của con sông lên đến $550{\rm{\;}}{{\rm{m}}^3}/$ phút thì cảnh báo lũ được đưa ra.

Trong thời gian theo dōi, lưu lượng nước của con sông lớn nhất là bao nhiêu? Cảnh báo lũ được đưa ra vào thời điếm nào?

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Các dạng bài tập Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số lớp 12 (có lời giải) !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Xét hàm số ${\rm{Q}}\left( {\rm{t}} \right) = - \frac{1}{5}{t^3} + 5{t^2} + 100$ với ${\rm{t}} \in \left[ {0;20} \right]$.

Ta có ${\rm{Q}}\left( {\rm{t}} \right) = - \frac{3}{5}{t^2} + 10t$;

${\rm{Q'}}\left( {\rm{t}} \right) = 0 \Leftrightarrow - \frac{3}{5}{t^2} + 10t = 0 \Leftrightarrow t = \frac{{50}}{3}$ hoă̆ct $ = 0$.

Bảng biến thiên của hàm số trên đoạn [0; 20] như sau:

(Trả lời ngắn) Trong 20 phút theo dôi, lưu lượng nước của một con sông được tính theo công thức Q(t) = -1/5t^3 + 5t^2 + 100 (ảnh 2)

Từ bảng biến thiên suy ra tại $t = \frac{{50}}{3}$, tức là lưu lượng nước của con sông lớn nhất là $\frac{{15200}}{{27}}$ ${{\rm{m}}^3}/$ phút tại thời điểm $t = \frac{{50}}{3}$ phút.

Cảnh báo lũ được đưa ra khi lưu lượng nước của con sông lên đến $550{\rm{\;}}{{\rm{m}}^3}/$ phút, tức là $Q\left( t \right) \ge 550 \Leftrightarrow $ $ - \frac{1}{5}{t^3} + 5{t^2} + 100 \ge 550 \Leftrightarrow - \frac{1}{5}{t^3} + 5{t^2} + 450 \ge 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{t}} \le 5 - 5\sqrt 7 }\\{15 \le {\rm{t}} \le 5 + 5\sqrt 7 }\end{array}} \right.$.

Lại có ${\rm{t}} \in \left[ {0;20} \right]$ nên $15 \le t \le 5 + 5\sqrt 7 $.

Vậy tại thời điếm $t \in \left[ {15;5 + 5\sqrt 7 } \right]$ phút thì cảnh báo lũ được đưa ra.

Đang tải chế độ Học...

Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay

ĐẶC QUYỀN VIP

Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn

Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.

Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
Đăng ký ngay

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Anh Nam có một mảnh đất rộng và muốn dành ra một khu đất hình chữ nhật có diện tích $200{\rm{\;}}{{\rm{m}}^2}$ để trồng vài loại cây mới. Anh dự kiến rào quanh ba cạnh của khu đất hình chữ nhật này bằng lưới thép, cạnh còn lại (chiều dài) sẽ tận dụng bức tường có sẵn (Hình 1.36). Do điều kiện địa lí, chiều rộng khu đất không vượt quá $15{\rm{\;m}}$, hỏi chiều rộng của khu đất này bằng bao nhiêu để tổng chiều dài lưới thép cần dùng là ngắn nhất (nghĩa là chi phí rào lưới thép thấp nhất)?

Xem đáp án

Lời giải

Gọi $x\left( {{\rm{\;m}}} \right)$ là chiều rộng của khu đất hình chữ nhật cần rào.

Theo đề bài, ta có $0 < x \le 15$.

Diện tích khu đất này là $200\left( {{\rm{\;}}{{\rm{m}}^2}} \right)$ nên chiều dài của khu đất là $\frac{{200}}{x}\left( {{\rm{\;m}}} \right)$.

Tổng chiều dài lưới thép rào quanh khu đất là $L\left( x \right) = 2x + \frac{{200}}{x}\left( {{\rm{\;m}}} \right)$.

Xét hàm số: $L\left( x \right) = 2x + \frac{{200}}{x}$, với $x \in \left( {0;15} \right]$.

Ta có: $L'\left( x \right) = 2 - \frac{{200}}{{{x^2}}} = \frac{{2{x^2} - 200}}{{{x^2}}}$;

$L'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 10({\rm{\;do\;}}x > 0){\rm{.}}$

Ta có: Anh Nam có một mảnh đất rộng và muốn dành ra một khu đất hình chữ nhật có diện tích 200m^2 để trồng vài loại cây mới (ảnh 2)

$L\left( {10} \right) = 40$

$L\left( {15} \right) = \frac{{130}}{3}.$

Bảng biến thiên:

Anh Nam có một mảnh đất rộng và muốn dành ra một khu đất hình chữ nhật có diện tích 200m^2 để trồng vài loại cây mới (ảnh 3)

Dựa vào bảng biến thiên, chiều dài lưới thép ngắn nhất là 40m khi chiều rộng khu đất này là x = 10(m) (và chiều dài là $\frac{200}{10} = 20 (m)$ .

Câu 2

Một phần đường ray tàu lượn siêu tốc có dạng đồ thị hàm số bậc ba: y = f(x) = ax3 + bx2 + cx + d, (\[a \ne 0\]). Trục Ox mô tả quãng đường tàu di chuyển theo chiều ngang (tính bằng centimét), trục Oy mô tả chiều cao của đường ray (tính bằng centimét) tại mỗi vị trí x. Chiều cao xuất phát là 50 cm. Tàu xuống dưới mặt đất lần thứ nhất từ vị trí x = 20 cm, tàu lên khỏi mặt đất ở vị trí x = 50 cm và sau đó xuống dưới mặt đất lần thứ hai ở vị trí x = 100 cm.

Xét đồ thị của hàm số đã cho khi x \[ \in \] [0; 100] như hình vẽ:

a) Tìm công thức hàm số f(x).

b) Tìm điểm cao nhất của đường ray khi tàu lên khỏi mặt đất và toạ độ điểm thấp nhất của đường ray khi tàu xuống dưới mặt đất.

Xem đáp án

Lời giải

a) Do đồ thị hàm số giao với trục hoành tại các điểm x = 20; x = 50, x = 100 nên phương trình f(x) = 0 có 3 nghiệm 20, 50, 100, từ đó ta có: y = a(x – 20)(x – 50)(x – 100).

Mặt khác, tại điểm x = 0 ta có y = 50, suy ra: 50 = a(0 – 20)(0 – 50 )(0 – 100) hay a = \[ - \frac{1}{{2000}}\].

Suy ra: \[y = - \frac{1}{{2000}}\left( {x - 20} \right)\left( {x - 50} \right)\left( {x - 100} \right) = - \frac{1}{{2000}}{x^3} + \frac{{17}}{{200}}{x^2} - 4x + 50\].

b) Các điểm cần thìm chính là các điểm cực trị của hàm số: \[y = f(x) = - \frac{1}{{2000}}{x^3} + \frac{{17}}{{200}}{x^2} - 4x + 50\]

\[y' = - \frac{3}{{2000}}{x^2} + 1\frac{{17}}{{200}}x - 4 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{100}}{3};x = 80\]

Ta có các điểm cực trị của hàm số f(x) là \[A\left( {\frac{{10}}{3}; - \frac{{200}}{{27}}} \right);B\left( {80;18} \right)\]

Câu 3