Một chất điểm chuyển động theo quy luật \(s =  - {t^3} + 6{t^2} + 17t\), với \(t\) là khoảng thời gian tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động và \(s\) là quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian đó. Khi đó vận tốc \(v\,\left( {m/s} \right)\)của chuyển động đạt giá trị lớn nhất trong khoảng \(8\) giây đầu tiên bằng

Trả lời: \(29\,m/s\).       

Hình hộp chữ nhật không nắp lần lượt có chiều rộng, dài, cao là \[x,y,z\], biết \(y = 2x\)

Diện tích không nắp \(S = xy + 2xz + 2yz = 2{x^2} + 6xz = 6,7{\mkern 1mu} {m^2}\) và thể tích \[V = xyz = 2{x^2}z\]

\(S = 2{x^2} + 3xz + 3xz \ge 3\sqrt[3]{{18{x^4}{z^2}}} = 3\sqrt[3]{{\frac{{9{V^2}}}{2}}} \Leftrightarrow {\left( {\frac{S}{3}} \right)^3} \ge \frac{{9{V^2}}}{2} \Leftrightarrow V \le \frac{1}{3}\sqrt {2{{\left( {\frac{S}{3}} \right)}^3}} \)

Suy ra: \(\max V = \frac{1}{3}\sqrt {2{{\left( {\frac{S}{3}} \right)}^3}}  \approx 1,57{m^3}\);

khi \(2{x^2} = 3xz \Leftrightarrow z = \frac{2}{3}x\)Û\(S = 2{x^2} + 6x\left( {\frac{2}{3}x} \right) = 6{x^2} = 6,7{m^2}\)Û \(x \approx 1.06\).

Ta có \(v = s' =  - 6{t^2} + 48t + 9\).

Theo đề, ta cần tìm vận tốc lớn nhất trong 10 giây đầu tiên nên bài toán trở thành tìm GTLN của hàm số \(v\left( t \right) =  - 6{t^2} + 48t + 9\) trên đoạn \(\left[ {0\,;\,10} \right]\).

Khi đó \(v'\left( t \right) =  - 12t + 48\), \(v'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = 4 \in \left[ {0\,;\,10} \right]\).

Ta có \(v\left( 0 \right) = 9;\,\,v\left( 4 \right) = 105;\,\,v\left( {10} \right) =  - 111\). Suy ra \[{v_{m\,ax}} = 105\] \(\left( {m/s} \right)\).

Vậy vận tốc lớn nhất của vật đạt được trong khoảng 10 giây đầu tiên là 105 \(\left( {m/s} \right)\).