Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 3x + 1}}{{x + 1}}\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Khi đó

a) Tập xác định của hàm số \(f\left( x \right)\) là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\).

b) Hàm số \(f\left( x \right)\) nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó.

c) Đường thẳng \(y = x + 2\) là đường tiệm cận xiên của \(\left( C \right)\).

d) Số điểm trên \(\left( C \right)\) có tọa độ nguyên là \(3\).

Đáp án: \(4.\)

Xét hàm số \[y = \frac{{{x^2} - 2x + 5}}{{x - 1}}\] trên khoảng \[\left( {1;\infty } \right)\].

Ta có \[\begin{array}{l}y' = \frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1\\x = 3\end{array} \right.\\\end{array}\] 

Bảng biến thiên

Suy ra \[m = \mathop {{\rm{min}}}\limits_{\left( {1; + \infty } \right)} y = 4\] khi \(x = 3\).

Điều kiện \(x \ne 1\). Phương trình hoành độ giao điểm của \(d\) và \(\left( C \right)\):

\[\begin{array}{l}\frac{{ - 2x + 1}}{{x - 1}} = mx + 1 \Leftrightarrow \left( {mx + 1} \right)\left( {x - 1} \right) =  - 2x + 1\\ \Leftrightarrow m{x^2} + \left( {3 - m} \right)x - 2 = 0\end{array}\]

Đặt \[g\left( x \right) = m{x^2} + \left( {3 - m} \right)x - 2 = 0\].

\(d\) cắt \(\left( C \right)\) tại hai điểm phân biệt khi phương trình \(g\left( x \right) = 0\) có hai nghiệm phân biệt khác 1.

\(\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta  > 0\\g\left( 1 \right) \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\{\left( {3 - m} \right)^2} + 8m > 0\\m + 3 - m - 2 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\{m^2} + 2m + 9 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m \ne 0\).

Vì \(\left\{ \begin{array}{l}m \in Z\\m \in \left[ { - 5;5} \right]\end{array} \right.\) nên \(m \in \left\{ { - 5; - 4; - 3; - 2; - 1;1;2;3;4;5} \right\}\).

Vậy có \(10\) giá trị.