Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 3x + 1}}{{x + 1}}\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Khi đó

a) Tập xác định của hàm số \(f\left( x \right)\) là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\).

b) Hàm số \(f\left( x \right)\) nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó.

c) Đường thẳng \(y = x + 2\) là đường tiệm cận xiên của \(\left( C \right)\).

d) Số điểm trên \(\left( C \right)\) có tọa độ nguyên là \(3\).

 a) Đúng.

Điều kiện: \(x + 1 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne  - 1\).

Vậy tập xác định của hàm số \(f\left( x \right)\) là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\).

b) Sai.

Ta có: \(f'\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 2x + 2}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} > 0,\,\forall x \in D\).

Vậy hàm số \(f\left( x \right)\) luôn đồng biến trên từng khoảng xác định của nó.

c) Đúng.

Ta có: \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 3x + 1}}{{x + 1}} = x + 2 - \frac{1}{{x + 1}}\)

Và: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \left[ {f\left( x \right) - \left( {x + 2} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \frac{{ - 1}}{{x + 1}} = 0\]

Suy ra: đường thẳng \(y = x + 2\) là đường tiệm cận xiên của \(\left( C \right)\).

d) Sai.

Ta có: \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 3x + 1}}{{x + 1}} = x + 2 - \frac{1}{{x + 1}}\)

Ta thấy: với \(x \in \mathbb{Z}\) thì \(y \in \mathbb{Z}\) khi và chỉ khi 1 chia hết cho \(\left( {x + 1} \right)\)

\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 1 = 1\\x + 1 =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow y = 1\,\left( n \right)\\x =  - 2 \Rightarrow y = 1\,\left( n \right)\end{array} \right.\)

Vậy có \(2\) điểm trên \(\left( C \right)\) có tọa độ nguyên là \(\left( {0\,;\,1} \right)\) và \(\left( { - 2\,;\,1} \right)\).