Cho hàm số \(y = \frac{{x + m}}{{x - 1}}\) (\(m\) là tham số thực). Chọn đúng hoặc sai?

a)      Khi \(m = 2\)thì giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn \(\left[ {2;5} \right]\) là \(4.\)

b)     Khi \(m = 2\)thì giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \(\left[ {2;5} \right]\) là \(\frac{7}{4}.\)

c)      Khi \(m <  - 1\)thì giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \(\left[ {2;4} \right]\)là \(y\left( 4 \right).\)

d)     Khi \(\mathop {\min }\limits_{[2;4]} y = 3\) thì giá trị của tham số \(m\) là \(1 \le m < 3\).

Tập xác định \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\).

Ta có \(y' = \frac{{ - 1 - m}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}.\)

a)    Khi \(m = 2\)thì \(y' = \frac{{ - 1 - 2}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{ - 3}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} < 0{\rm{ }}\forall x \in D \Rightarrow \) hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định, do đó hàm số cũng nghịch biến trên \(\left[ {2;5} \right]\).

Vậy \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {2;5} \right]} \,\,y = y\left( 2 \right) = 4.\)Chọn Đ

b)    Theo ý a) ta có hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định, do đó hàm số cũng nghịch biến trên \(\left[ {2;5} \right]\). Vậy \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {2;5} \right]} \,\,y = y\left( 5 \right) = \frac{7}{4}.\) Chọn Đ

c)    Với \(m <  - 1\)\( \Rightarrow  - 1 - m > 0 \Rightarrow y' > 0\)nên hàm số đã cho đồng biến trên trên các khoảng xác định, do đó hàm số cũng đồng biến trên \(\left[ {2;4} \right]\) suy ra \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {2;4} \right]} \,\,y = y\left( 2 \right)\). Chọn S

d)  

TH1. \( - 1 - m > 0 \Leftrightarrow m <  - 1\)\( \Rightarrow y' > 0\) nên hàm số đã cho đồng biến trên \(\left[ {2;4} \right]\)

Khi đó \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {2;4} \right]} \,y = y\left( 2 \right) \Leftrightarrow 3 = 2 + m \Leftrightarrow m = 1\,\,\,(ktm)\)

TH2.\( - 1 - m < 0 \Leftrightarrow m >  - 1\) \( \Rightarrow y' < 0\) nên hàm số đã cho nghịch biến trên \(\left[ {2;4} \right]\)

Khi đó \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {2;4} \right]} \,\,y = y\left( 4 \right) \Leftrightarrow 3 = \frac{{4 + m}}{3} \Leftrightarrow m = 5\,\,\,(tm)\) mà \(m \notin \left[ {1;3} \right)\). Chọn S