Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a)    Đồ thị hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{{2x - 7}}\) có 1 tiệm cận đứng và 1 tiệm cận ngang.

b)    Đồ thị hàm số \(y = \frac{x}{{{x^2} + 4}}\) có 1 tiệm cận ngang.

c)    Đồ thị hàm số \(y = \frac{{2{x^2} - 6x + 2}}{{x + 3}}\) có tất cả 3 đường tiệm cận.

d)    Đồ thị hàm số \(y = \frac{{\sqrt {25 - {x^2}} }}{{{x^2}}}\) có hai đường tiệm cận ngang là \(y = 1\) và \(y =  - 1.\)

a)    Đồ thị hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{{2x - 7}}\) có:

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{7}{2}} \right\}.\)

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\frac{7}{2}} \right)}^ + }} \frac{{x + 1}}{{2x - 7}} =  + \infty ;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\frac{7}{2}} \right)}^ - }} \frac{{x + 1}}{{2x - 7}} =  - \infty \].

Suy ra \(x = \frac{7}{2}\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \frac{{x + 1}}{{2x - 7}} = \frac{1}{2}\]. Suy ra \(y = \frac{1}{2}\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Vậy hàm số có 1 tiệm cận đứng và 1 tiệm cận ngang.

b)    Ta có: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \frac{x}{{{x^2} + 4}} = 0\]. Suy ra \(y = 0\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

c)    Ta có:

\(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{2{x^2} - 6x + 2}}{{{x^2} + 3x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {2 + \frac{{ - 12x + 2}}{{{x^2} + 3x}}} \right) = 2.\)

\(b = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {f\left( x \right) - 2x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {\frac{{2{x^2} - 6x + 2}}{{{x^2} + 3x}} - 2x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{2}{{{x^2} + 3x}} = 0.\)

Ta cũng có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{2{x^2} - 6x + 2}}{{{x^2} + 3x}} = 2;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left[ {\frac{{2{x^2} - 6x + 2}}{{{x^2} + 3x}} - 2x} \right] = 0.\)

Do đó, đồ thị hàm số có 1 đường tiệm cận xiên là đường thẳng \(y = 2x.\)

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 3} \right)}^ + }} \frac{{2{x^2} - 6x + 2}}{{x + 3}} =  + \infty ;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 3} \right)}^ - }} \frac{{2{x^2} - 6x + 2}}{{x + 3}} =  - \infty \).

Vậy đồ thị hàm số có 1 đường tiệm cận đứng là đường thẳng \(x =  - 3\).

Kết luận: Đồ thị hàm số chỉ có 2 đường tiệm cận.

d)    Tập xác định: \(D = \left[ { - 5;5} \right]\backslash \{ 0\} \) nên không tồn tại tiệm cận ngang.