Câu hỏi:

02/10/2025 6 Lưu

Nhân ngày quốc tế Phụ nữ 20 – 10 năm 2024. Ông M đã mua tặng vợ một món quà và đặt nó trong một chiếc hộp chữ nhật có thể tích là 32 (đvtt) có đáy là hình vuông và không nắp. Để món quà trở nên đặc biệt và xứng tầm với giá trị của nó, ông quyết định mạ vàng chiếc hộp, biết rằng độ dày của lớp mạ trên mọi điểm của chiếc hộp là không đổi và như nhau. Gọi chiều cao và cạnh đáy của chiếc hộp lần lượt là \[h\] và \[x\].

a) Công thức tính thể tích chiếc hộp là \[V = {x^2}h\].

b) Diện tích các mặt ngoài của chiếc hộp là \[S = 2{x^2} + 4xh\].

c) Diện tích tất cả các mặt được mạ vàng là \[{S_{MV}} = 2{x^2} + 4xh\].

d) Khi cạnh đáy của chiếc hộp \(x\) lớn hơn \(4\) thì  \[x\] càng lớn, lượng vàng được mạ càng tăng.

Quảng cáo

Trả lời:

verified Giải bởi Vietjack

a) Đúng. Thể tích khối hộp chữ nhật \[V = x.x.h = {x^2}h\].

b) Sai. Chiếc hộp có \(1\) mặt đáy là hình vuông cạnh \(x\) và có \(4\) mặt bên là hình chữ nhật kích thước \(x\) và \(h\). Vậy diện tích các mặt ngoài của chiếc hộp là: \[{S_{xq}} = {x^2} + 4xh\].

c) Sai. Vì mạ vàng trên mọi điểm của chiếc hộp nên mạ cả mặt trong và mặt ngoài.

Vậy \[{S_{MV}} = 2S = 2\left( {{x^2} + 4xh} \right) = 2{x^2} + 8xh\].

d) Đúng. Ta có thể tích chiếc hộp: \[V = {x^2}h = 32\] (đvtt), với \[x,h > 0\]. Suy ra \[h = \frac{{32}}{{{x^2}}}\].

Phần mạ vàng của chiếc hộp: \[S = 2{x^2} + 8xh\] \[ = 2{x^2} + 8x.\frac{{32}}{{{x^2}}}\]\[ = 2{x^2} + \frac{{256}}{x}\].

Xét hàm số \[f\left( x \right) = 2{x^2} + \frac{{256}}{x}\] với \[x > 0\].

Ta có \[f'\left( x \right) = 4x - \frac{{256}}{{{x^2}}} = \frac{{4{x^3} - 256}}{{{x^2}}}\], \[f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 4{x^3} - 256 \Leftrightarrow x = 4\];\[f\left( 4 \right) = 96\].

BBT

Nhân ngày quốc tế Phụ nữ 20 – 10 năm 2024. Ông M đã mua tặng vợ một món quà và đặt nó trong một chiếc hộp chữ nhật có thể tích là 32 (đvtt) có đáy là hình vuông và không nắp (ảnh 1)

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy khi \(x > 4\) hàm số \(f\left( x \right)\) tăng. Vậy lượng vàng được mạ tăng.

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

a) Đúng. Bán kính của hình bán nguyệt là \(\frac{x}{2}\) nên nửa chu vi bán nguyệt là \(\frac{{\pi x}}{2}\).

b) Đúng. Ta có \(2\left( {x + y} \right) + \frac{{\pi x}}{2} = 8 \Leftrightarrow y = 4 - \frac{{x\left( {4 + \pi } \right)}}{4}\).

c) Sai. Diện tích của cửa sổ:\(S = xy + \frac{1}{2}\pi {\left( {\frac{x}{2}} \right)^2} = x\left( {4 - x - \frac{{\pi x}}{4}} \right) + \frac{{\pi {x^2}}}{8} = 4x - {x^2} - \frac{{\pi {x^2}}}{8}\).

d) Đúng. \(S\) đạt giá trị lớn nhất khi \(x = \frac{4}{{2 + \frac{\pi }{4}}} = \frac{{16}}{{8 + \pi }}\) nên \(y = 4 - x - \frac{{\pi x}}{4} = \frac{{16}}{{8 + \pi }}\).

Lời giải

a) Đúng. Chi phí mỗi ngày là tổng các chi phí nên \(C\left( x \right) = 0,0005{x^2} + 0,15x + 5\) (triệu đồng).

b) Sai. Khi \(x = 100\), ta có \(C\left( {100} \right) = 0,0005 \times {100^2} + 0,15 \times 100 + 5 = 25\).

c) Sai. Chi phí trung bình trên mỗi khối sản phẩm là:

\(\overline c \left( x \right) = \frac{{0,0005{x^2} + 0,15x + 5}}{x} = 0,0005x + 0,15 + \frac{5}{x}\).

d) Đúng. Xét hàm số \(\overline c \left( x \right) = 0,0005x + 0,15 + \frac{5}{x}\), \(0 < x \le 200\).

Ta có \({\overline c ^{\,\prime }}\left( x \right) = \frac{5}{{{{10}^4}}} - \frac{5}{{{x^2}}}\), \({\overline c ^\prime }\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {x^2} = {10^4} \Rightarrow x = 100\) (do \(x \in \left( {0;200} \right]\).

Bảng biến thiên:

Tại một cơ sở sản xuất nước tinh khiết, nhân viên phụ trách sản xuất cho biết, nếu mỗi ngày cơ sở này sản xuất \(x\,\,\left( {{{\rm{m}}^{\rm (ảnh 1)

Vậy chi phí trung bình giảm khi hàm số \(\overline c \left( x \right)\)nghịch biến, tức là \(x \in \left( {0;100} \right)\).