Câu hỏi:

14/05/2021 800

Cho x, y là hai số thực thỏa mãn điều kiện $x^{2} + y^{2} + x y + 4 = 4 y + 3 x$ . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P = 3 (x^{3} - y^{3}) + 20 x^{2} + 2 x y + 5 y^{2} + 39 x$

A. 100

B. 66

C. 110

D. 90

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 25 câu Trắc nghiệm Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Theo giả thiết:

$x^{2} + y^{2} + x y + 4 = 4 y + 3 x$

$\Leftrightarrow y^{2} + (x - 4) y + x^{2} - 3 x + 4 = 0$

Ta xem đây là phương trình bậc hai ẩn y và khi đó điều kiện có nghiệm là:

$Δ = {(x - 4)}^{2} - 4 (x^{2} - 3 x + 4) \geq 0$

$\Leftrightarrow x^{2} - 8 x + 16 - 4 x^{2} + 12 x - 16 \geq 0$

$\Leftrightarrow - 3 x^{2} + 4 x \geq 0 \Leftrightarrow 0 \leq x \leq \frac{4}{3}$

Từ giả thiết suy ra $x^{2} + y^{2} + x y = 4 y + 3 x - 4$ . Khi đó:

$P = 3 (x - y) (x^{2} + x y + y^{2}) + 20 x^{2} + 2 x y + 5 y^{2} + 39 x$

$P = 3 (x - y) (3 x + 4 y - 4) + 20 x^{2} + 2 x y + 5 y^{2} + 39 x$

$P = 3 (3 x^{2} + x y - 4 y^{2} - 4 x + 4 y) + 20 x^{2} + 2 x y + 5 y^{2} + 39 x$

$P = 29 x^{2} + 5 x y - 7 y^{2} + 27 x + 12 y$

$P = (5 x^{2} + 5 x y + 5 y^{2}) + 24 x^{2} - 12 y^{2} + 27 x + 12 y$

$P = 5 (x^{2} + x y + y^{2}) + 24 x^{2} - 12 y^{2} + 27 x + 12 y$

$P = 5 (3 x + 4 y - 4) + 24 x^{2} - 12 y^{2} + 27 x + 12 y$

$P = 24 x^{2} - 12 y^{2} + 42 x + 32 y - 20$

$P = 2 (12 x^{2} - 6 y^{2} + 21 x + 16 y) - 20$

Đặt $g (y) = - 6 y^{2} + 16 y + 21 x + 12 x^{2}$ (ta xem x là tham số)

Khi đó $g (y) \leq g (\frac{4}{3}) = 12 x^{2} + 21 x + \frac{32}{3}$

Do $x \in [0; \frac{4}{3}]$ nên $12 x^{2} + 21 x + \frac{32}{3} \leq 60$

Suy ra $g (y) \leq 60$ . Vậy giá trị lớn nhất của P là 100 khi $x = y = \frac{4}{3}$

Đáp án cần chọn là: A

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Một sợi dây kim loại dài a (cm). Người ta cắt sợi dây đó thành hai đoạn, trong đó một đoạn có độ dài x (cm) được uốn thành đường tròn và đoạn còn lại được uốn thành hình vuông ( $a > x > 0)$ . Tìm x để hình vuông và hình tròn tương ứng có tổng diện tích nhỏ nhất

A. $x = \frac{a}{π + 4} (c m)$

B. $x = \frac{2 a}{π + 4} (c m)$

C. $x = \frac{π a}{π + 4} (c m)$

D. $x = \frac{4 a}{π + 4} (c m)$

Lời giải

Do x là độ dài của đoạn dây cuộn thành hình tròn (0 < x < a). Suy ra chiều dài đoạn còn lại là $a - x$

Gọi r là bán kính của đường tròn. Chu vi đường tròn: $2 π r = x \Rightarrow r = \frac{x}{2 π}$

Do đó diện tích hình tròn là: $S_{1} = π . r^{2} = \frac{x^{2}}{4 π}$

Chu vi hình vuông là $a - x \Rightarrow$ cạnh hình vuông là: $\frac{a - x}{4}$

Do đó diện tích hình vuông : $S_{2} = {(\frac{a - x}{4})}^{2}$

Tổng diện tích hai hình:

$S = \frac{x^{2}}{4 π} + {(\frac{a - x}{4})}^{2} = \frac{4 x^{2} + π {(a - x)}^{2}}{16 π} = \frac{(4 + π) . x^{2} - 2 a π x + π a^{2}}{16 π}$

Xét hàm số $S (x) = \frac{(4 + π) . x^{2} - 2 a π x + π a^{2}}{16 π}$ ta có $S' (x) = \frac{2 (4 + π) . x - 2 a π}{16 π} = \frac{(4 + π) . x - a π}{8 π}$

Cho $S' (x) = 0 \Leftrightarrow (4 + π) x - a π = 0 \Leftrightarrow x = \frac{a π}{4 + π}$ . Ta có BBT như sau:

Suy ra hàm S chỉ có một cực trị và là một cực tiểu tại $x = \frac{a π}{4 + π}$

Do đó S đạt giá trị nhỏ nhất tại $x = \frac{a π}{4 + π}$

Đáp án cần chọn là: C

Câu 2

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $y = f (x) = \sqrt{x - 1} + \sqrt{5 - x}$ trên đoạn $[1; 5]$

A. $\max_{[1; 5]} f (x) = 3 \sqrt{2}$

B. $\max_{[1; 5]} f (x) = \sqrt{2}$

C. $\max_{[1; 5]} f (x) = 2 \sqrt{2}$

D. $\max_{[1; 5]} f (x) = 2$

Lời giải

TXĐ: $\{\begin{matrix} x - 1 \geq 0 \\ 5 - x \geq 0 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} x \geq 1 \\ x \leq 5 \end{matrix} \Rightarrow D = [1; 5]$

Ta có: $f' (x) = \frac{1}{2 \sqrt{x - 1}} - \frac{1}{2 \sqrt{5 - x}} = \frac{\sqrt{5 - x} - \sqrt{x - 1}}{2 \sqrt{x - 1} . \sqrt{5 - x}}$

Cho $f' (x) = 0 \Leftrightarrow \sqrt{5 - x} = \sqrt{x - 1} \Leftrightarrow 5 - x = x - 1 \Leftrightarrow x = 3 \in [1; 5]$

Mặt khác $f (1) = 2, f (3) = 2 \sqrt{2}, f (5) = 2$

Vậy $\max_{[1; 5]} f (x) = f (3) = 2 \sqrt{2}$

Đáp án cần chọn là: C

Câu 3

Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục trên R có đồ thị $y = f' (x)$ như hình vẽ. Đặt $g (x) = 2 f (x) - x^{2}$ . Khi đó giá trị lớn nhất của hàm số g (x) trên đoạn $[- 2; 4]$ là:

A. $g (- 2)$

B. $g (2)$

C. $g (4)$

D. $g (0)$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Gọi M, N lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $f (x) = |x - 3| \sqrt{x + 1}$ trên đoạn $[0; 4]$ . Tính $M + 2 N$

A. $\frac{16 \sqrt{3}}{9}$

B. $\frac{256}{27}$

C. 3

D. $\sqrt{5}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Cho hàm số $y = f (x)$ có đạo hàm trên R và có đồ thị như hình vẽ bên. Xét hàm số $g (x) = f (x^{3} + 2 x) + m$ . Giá trị của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số g (x) trên đoạn $[0; 1]$ bằng 9 là:

A. $m = 10$

B. $m = 6$

C. $m = 12$

D. $m = 8$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục trên đoạn $[- 1; 4]$ và có đồ thị như hình vẽ:
Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc đoạn $[- 10; 10]$ để bất phương trình $|f (x) + m| < 2 m$ đúng với mọi x thuộc đoạn $[- 1; 4]$ ?

A. 6

B. 5

C. 7

D. 8

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài tập

Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

Cho x, y là hai số thực thỏa mãn điều kiện x2+y2+xy+4=4y+3x. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P=3x3−y3+20x2+2xy+5y2+39x

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y=fx=x−1+5−x trên đoạn 1;5

Cho hàm số y=fx liên tục trên R có đồ thị y=f'(x) như hình vẽ. Đặt gx=2fx−x2. Khi đó giá trị lớn nhất của hàm số g (x) trên đoạn −2;4 là:

Gọi M, N lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số fx=x−3x+1 trên đoạn 0;4. Tính M+2N

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm trên R và có đồ thị như hình vẽ bên. Xét hàm số g(x)=fx3+2x+m. Giá trị của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số g (x) trên đoạn 0;1 bằng 9 là:

Cho hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn −1;4 và có đồ thị như hình vẽ:Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc đoạn −10;10 để bất phương trình fx+m<2m đúng với mọi x thuộc đoạn −1;4?

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho x, y là hai số thực thỏa mãn điều kiện $x^{2} + y^{2} + x y + 4 = 4 y + 3 x$ . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P = 3 (x^{3} - y^{3}) + 20 x^{2} + 2 x y + 5 y^{2} + 39 x$

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $y = f (x) = \sqrt{x - 1} + \sqrt{5 - x}$ trên đoạn $[1; 5]$

Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục trên R có đồ thị $y = f' (x)$ như hình vẽ. Đặt $g (x) = 2 f (x) - x^{2}$ . Khi đó giá trị lớn nhất của hàm số g (x) trên đoạn $[- 2; 4]$ là:

Gọi M, N lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $f (x) = |x - 3| \sqrt{x + 1}$ trên đoạn $[0; 4]$ . Tính $M + 2 N$

Cho hàm số $y = f (x)$ có đạo hàm trên R và có đồ thị như hình vẽ bên. Xét hàm số $g (x) = f (x^{3} + 2 x) + m$ . Giá trị của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số g (x) trên đoạn $[0; 1]$ bằng 9 là:

Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục trên đoạn $[- 1; 4]$ và có đồ thị như hình vẽ:
Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc đoạn $[- 10; 10]$ để bất phương trình $|f (x) + m| < 2 m$ đúng với mọi x thuộc đoạn $[- 1; 4]$ ?