Ta biết rằng Mặt Trăng chuyển động quanh Trái Đất theo quỹ đạo là một elip mà Trái Đất là một tiêu điểm. Elip đó có A1A2 = 768 800 km và B1B2 = 767 619 km (Nguồn: Ron Larson (2014), Precalculus Rea...

Hướng dẫn giải Phương trình chính tắc của elip trên có dạng ( frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1 ), trong đó a > b > 0. Ta có Oy là đường trung trực của A1A2 nên O là trung điểm của A1A2 nên OA2 = ( frac{{{A_1}{A_2}}}{2} ) ( = frac{{768 , ,800}}{2} = 384 , ,400 ). Vì điểm A2 nằm trên trục Ox về phía bên phải điểm O và cách O một khoảng bằng 384 400 nên A2(384 800; 0). Elip (E) cắt trục Ox tại A2(384 800; 0), thay vào phương trình elip ta được: ( frac{{384 ,{{800}^2}}}{{{a^2}}} + frac{{{0^2}}}{{{b^2}}} = 1 Leftrightarrow {a^2} = 384 ,{800^2} Rightarrow a = 384 ,800 ) (do a > 0). Lại có Ox là đường trung trực của B1B2 nên O là trung điểm của B1B2 nên OB2 = ( frac{{{B_1}{B_2}}}{2} ) ( = frac{{767 , ,619}}{2} = 338 ,309,5 ). Vì điểm B2 nằm trên trục Oy về phía bên trên điểm O và cách O một khoảng bằng 338309,5 nên B2(0; 338309,5). Elip (E) cắt trục Oy tại B2(0; 338309,5), thay vào phương trình elip ta được: ( frac{{{0^2}}}{{{a^2}}} + frac{{{{338309,5}^2}}}{{{b^2}}} = 1 Leftrightarrow {b^2} = {338309,5^2} Rightarrow b = 338309,5 ) (do b > 0). Vì 384 800 > 338309,5 nên a > b > 0 (thỏa mãn điều kiện). Vậy phương trình chính tắc của elip (E) là ( frac{{{x^2}}}{{{{384800}^2}}} + frac{{{y^2}}}{{{{338309,5}^2}}} = 1 ).

Câu hỏi:

04/07/2022 2,495

Ta biết rằng Mặt Trăng chuyển động quanh Trái Đất theo quỹ đạo là một elip mà Trái Đất là một tiêu điểm. Elip đó có A₁A₂ = 768 800 km và B₁B₂ = 767 619 km (Nguồn: Ron Larson (2014), Precalculus Real Mathematics, Real People, Cengage) (Hình 62). Viết phương trình chính tắc của elip đó.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bài tập Ba đường conic có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Hướng dẫn giải

Phương trình chính tắc của elip trên có dạng \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\), trong đó a > b > 0.

Ta có Oy là đường trung trực của A₁A₂ nên O là trung điểm của A₁A₂ nên OA₂ = \(\frac{{{A_1}{A_2}}}{2}\)\( = \frac{{768\,\,800}}{2} = 384\,\,400\).

Vì điểm A₂ nằm trên trục Ox về phía bên phải điểm O và cách O một khoảng bằng 384 400 nên A₂(384 800; 0).

Elip (E) cắt trục Ox tại A₂(384 800; 0), thay vào phương trình elip ta được:

\(\frac{{384\,{{800}^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{0^2}}}{{{b^2}}} = 1 \Leftrightarrow {a^2} = 384\,{800^2} \Rightarrow a = 384\,800\) (do a > 0).

Lại có Ox là đường trung trực của B₁B₂ nên O là trung điểm của B₁B₂ nên OB₂ = \(\frac{{{B_1}{B_2}}}{2}\)\( = \frac{{767\,\,619}}{2} = 338\,309,5\).

Vì điểm B₂ nằm trên trục Oy về phía bên trên điểm O và cách O một khoảng bằng 338309,5 nên B₂(0; 338309,5).

Elip (E) cắt trục Oy tại B₂(0; 338309,5), thay vào phương trình elip ta được:

\(\frac{{{0^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{{338309,5}^2}}}{{{b^2}}} = 1 \Leftrightarrow {b^2} = {338309,5^2} \Rightarrow b = 338309,5\) (do b > 0).

Vì 384 800 > 338309,5 nên a > b > 0 (thỏa mãn điều kiện).

Vậy phương trình chính tắc của elip (E) là \(\frac{{{x^2}}}{{{{384800}^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{{338309,5}^2}}} = 1\).

Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Một chiếc đèn có mặt cắt ngang là hình parabol (Hình 63). Hình parabol có chiều rộng giữa hai mép vành là AB = 40 cm và chiều sâu h = 30 cm (h bằng khoảng cách từ O đến AB). Bóng đèn nằm ở tiêu điểm S. Viết phương trình chính tắc của parabol đó.

Xem đáp án

Lời giải

Hướng dẫn giải

Phương trình chính tắc của parabol có dạng y² = 2px (với p > 0).

Vì AB = 40 và Ox là đường trung trực của đoạn AB nên khoảng cách từ điểm A đến trục Ox là \(\frac{{40}}{2} = 20\).

Chiều sâu h bằng khoảng cách từ O đến AB và cũng chính bằng khoảng cách từ điểm A đến trục Oy và bằng 30.

Do đó, parabol đi qua điểm A có hoành độ là 30 (khoảng cách từ A đến trục Oy) và tung độ là 20 (khoảng cách từ A đến trục Ox) hay A(30; 20).

Thay tọa độ điểm A vào phương trình chính tắc của parabol, ta được:

20² = 2p . 30 ⇔ 60p = 400 ⇔ p = \(\frac{{20}}{3}\) (thỏa mãn p > 0).

Vậy phương trình chính tắc của parabol cần lập là \({y^2} = 2.\frac{{20}}{3}.x\,\,hay\,\,{y^2} = \frac{{40}}{3}x\).

Câu 2

Cho Elip (E) có phương trình chính tắc \(\frac{{{x^2}}}{{49}} + \frac{{{y^2}}}{{25}} = 1.\)Tìm tọa độ các giao điểm của (E) với trục Ox, Oy và tọa độ các tiêu điểm của (E).

Xem đáp án

Lời giải

Hướng dẫn giải

Ta có: \(\frac{{{x^2}}}{{49}} + \frac{{{y^2}}}{{25}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{{{7^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{5^2}}} = 1.\)

Do a > b > 0 nên elip (E) có a = 7, b = 5.

Ta có: c² = a² – b² = 7² – 5² = 24, suy ra \(c = \sqrt {24} = 2\sqrt 6 \).

Vậy tọa độ các giao điểm của (E) với trục Ox là A₁(– 7; 0), A₂(7; 0), tọa độ các giao điểm của (E) với trục Oy là B₁(0; – 5), B₂(0; 5) và tọa độ các tiêu điểm của E là \({F_1}\left( { - 2\sqrt 6 ;\,\,0} \right),\,\,{F_2}\left( {2\sqrt 6 ;\,\,0} \right)\).

Câu 3