Cho hai đoạn thẳng AC và BD cắt nhau tại điểm O sao cho OA = OB = OC = OD như Hình 4.30. Chứng minh ABCD là hình chữ nhật.

Hướng dẫn giải:

Vì ∆AED = ∆BEC nên AE = BE; ED = EC.

Ta có: AC = AE + EC; BD = BE + ED.

Do đó, AC = BD.

Xét ∆ABD và ∆BAC ta có:  

AC = BD (chứng minh trên)

AB chung

AD = CB (giả thiết)

Do đó, ∆ABD = ∆BAC (c – c – c)

Suy ra \(\widehat {ABD} = \widehat {BAC}\) (hai góc tương ứng)

Xét tam giác AEB có:

\(\widehat {ABE} + \widehat {BAE} + \widehat {AEB} = 180^\circ \)

Do đó, \(2\widehat {ABE} = 180^\circ - \widehat {AEB}\) (vì \(\widehat {ABE} = \widehat {BAE}\) do \(\widehat {ABD} = \widehat {BAC}\))

Suy ra \(\widehat {ABE} = \frac{{180^\circ - \widehat {AEB}}}{2}\)  (4)

Xét ∆ACD và ∆BDC ta có:  

AC = BD (chứng minh trên)

CD chung

AD = CB (giả thiết)

Do đó, ∆ACD = ∆BDC (c – c – c)

Suy ra \(\widehat {ACD} = \widehat {BDC}\) (hai góc tương ứng)

Xét tam giác DEC có:

\(\widehat {DCE} + \widehat {EDC} + \widehat {DEC} = 180^\circ \)

Do đó, \(2\widehat {EDC} = 180^\circ - \widehat {DEC}\) (vì \(\widehat {EDC} = \widehat {DCE}\) do \(\widehat {ACD} = \widehat {BDC}\))

Suy ra \(\widehat {EDC} = \frac{{180^\circ - \widehat {DEC}}}{2}\) (5)

Lại có, \(\widehat {AEB},\,\,\widehat {DEC}\) là hai góc đối đỉnh nên \(\widehat {AEB} = \widehat {DEC}\) (6)

Từ (4); (5); (6) suy ra \(\widehat {ABE}\) = \(\widehat {EDC}\) hay \(\widehat {ABD} = \widehat {BDC}\).

Mà hai góc này lại ở vị trí so le trong nên AB // CD.

Hướng dẫn giải

Vì M là trung điểm của BC nên BM = MC = \(\frac{{BC}}{2}\)

Vì N là trung điểm của EF nên EN = NF = \(\frac{{EF}}{2}\)

Mà BC = EF (giả thiết) nên BM = EN.

Xét ∆ABM và ∆DEN ta có:  

AB = DE (giả thiết)

BM = EN (chứng minh trên)

AM = DN (giả thiết)

Do đó, ∆ABM = ∆DEN (c – c – c).

Suy ra, \(\widehat {ABM} = \widehat {DEN}\)(hai góc tương ứng) hay \(\widehat {ABC} = \widehat {DEF}\).

Xét ∆ABC và ∆DEF ta có:

AB = DE (giả thiết)

BC = EF (giả thiết)

\(\widehat {ABC} = \widehat {DEF}\) (chứng minh trên)

Do đó, ∆ABC = ∆DEF (c – g – c).