Cho hai đoạn thẳng AC và BD cắt nhau tại điểm O sao cho OA = OB = OC = OD như Hình 4.30. Chứng minh ABCD là hình chữ nhật.

Hướng dẫn giải:

Vì ∆AED = ∆BEC nên AE = BE; ED = EC.

Ta có: AC = AE + EC; BD = BE + ED.

Do đó, AC = BD.

Xét ∆ABD và ∆BAC ta có:  

AC = BD (chứng minh trên)

AB chung

AD = CB (giả thiết)

Do đó, ∆ABD = ∆BAC (c – c – c)

Suy ra \(\widehat {ABD} = \widehat {BAC}\) (hai góc tương ứng)

Xét tam giác AEB có:

\(\widehat {ABE} + \widehat {BAE} + \widehat {AEB} = 180^\circ \)

Do đó, \(2\widehat {ABE} = 180^\circ - \widehat {AEB}\) (vì \(\widehat {ABE} = \widehat {BAE}\) do \(\widehat {ABD} = \widehat {BAC}\))

Suy ra \(\widehat {ABE} = \frac{{180^\circ - \widehat {AEB}}}{2}\)  (4)

Xét ∆ACD và ∆BDC ta có:  

AC = BD (chứng minh trên)

CD chung

AD = CB (giả thiết)

Do đó, ∆ACD = ∆BDC (c – c – c)

Suy ra \(\widehat {ACD} = \widehat {BDC}\) (hai góc tương ứng)

Xét tam giác DEC có:

\(\widehat {DCE} + \widehat {EDC} + \widehat {DEC} = 180^\circ \)

Do đó, \(2\widehat {EDC} = 180^\circ - \widehat {DEC}\) (vì \(\widehat {EDC} = \widehat {DCE}\) do \(\widehat {ACD} = \widehat {BDC}\))

Suy ra \(\widehat {EDC} = \frac{{180^\circ - \widehat {DEC}}}{2}\) (5)

Lại có, \(\widehat {AEB},\,\,\widehat {DEC}\) là hai góc đối đỉnh nên \(\widehat {AEB} = \widehat {DEC}\) (6)

Từ (4); (5); (6) suy ra \(\widehat {ABE}\) = \(\widehat {EDC}\) hay \(\widehat {ABD} = \widehat {BDC}\).

Mà hai góc này lại ở vị trí so le trong nên AB // CD.

Hướng dẫn giải

 Xét tam giác ABE có:

\[\widehat {BAE} + \widehat {ABE} + \widehat {AEB} = 180^\circ \]

\[\widehat {ABE} = 180^\circ - \widehat {BAE} - \widehat {AEB}\]       (1)

Xét tam giác CDE có:

\[\widehat {DCE} + \widehat {DEC} + \widehat {EDC} = 180^\circ \]

\[\widehat {EDC} = 180^\circ - \widehat {DCE} - \widehat {DEC}\] (2)

Mà \(\widehat {BAE} = \widehat {DCE}\) (giả thiết); \(\widehat {AEB} = \widehat {DEC}\) (hai góc đối đỉnh) (3)

Từ (1), (2), (3) ta suy ra \(\widehat {ABE} = \widehat {EDC}\).

Xét ∆ABE và ∆CDE có:

\(\widehat {ABE} = \widehat {EDC}\) (chứng minh trên)

AB = CD (giả thiết)

\(\widehat {BAE} = \widehat {DCE}\) (giả thiết)

Do đó, ∆ABE = ∆CDE (g – c – g).

Suy ra, AE = CE; BE = DE (các cặp cạnh tương ứng)

Vì AE = CE và E nằm giữa A và C nên E là trung điểm của AC;

Vì BE = DE và B nằm giữa D và B nên E là trung điểm của BD.