Đáp án A

Ta có:

$$\begin{gathered} y\text{'}=\left(2x+4\right)f\text{'}\left(x^2+4x\right)-2x-4 \\ =\left(2x+4\right)\left[f\text{'}\left(x^2+4x\right)-1\right] \\ y\text{'}=0\iff \left[\begin{array}{c}2x+4=0\\ f\text{'}\left(x^2+4x\right)-1=0\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{c}2x+4=0\\ f\text{'}\left(x^2+4x\right)=1\end{array}\right. \\ \iff \left[\begin{array}{c}2x+4=0\\ x^2+4x=-4\\ x^2+4x=0\\ x^2+4x=t\in \left(1;5\right)\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{c}x=-2\in \left(-5;1\right)\\ x=0\in \left(-5;1\right)\\ x=-4\in \left(-5;1\right)\\ x=-2\pm \sqrt{4+t}\end{array}\right. \end{gathered}$$

Xét $x_1=-2-\sqrt{4+t}$, với $1<t<5\Rightarrow -5<-2-\sqrt{4+t}<-2-\sqrt{5}<1\Rightarrow -5<x_1<1$

Xét $x_2=-2+\sqrt{4+t}$, với $1<t<5\Rightarrow -5<-2+\sqrt{4+t}<-2+\sqrt{5}<1\Rightarrow -5<x_2<1$

Do đó phương trình y’ = 0 có 5 nghiệm phân biệt thuộc (-5; 1) và các nghiệm này đều là nghiệm bội lẻ nên đạo hàm y’ đổi dấu qua chúng.

Vậy hàm số có 5 điểm cực trị trong khoảng (-5; 1)

Đáp án A

Ta có:

$$\begin{gathered} h\left(x\right)={\left[f\left(x\right)-g\left(x\right)\right]}^2 \\ \Rightarrow h\text{'}\left(x\right)=2\left[f\left(x\right)-g\left(x\right)\right].\left[f\left(x\right)-g\left(x\right)\right]\text{'} \\ =2\left[f\left(x\right)-g\left(x\right)\right].\left[f\text{'}\left(x\right)-g\text{'}\left(x\right)\right] \end{gathered}$$

Cho $h\text{'}\left(x\right)=0\iff \left[\begin{array}{c}f\left(x\right)-g\left(x\right)=0\left(1\right)\\ f\text{'}\left(x\right)-g\text{'}\left(x\right)=0\left(2\right)\end{array}\right.$

Từ đồ thị hàm số ta thấy phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt $\left[\begin{array}{c}x=-1\\ x=x_1\\ x=3\end{array}\right.\in \left(-1;3\right)$ và đa thức $f\left(x\right)-g\left(x\right)$ đổi dấu khi qua các nghiệm này. Do đó các nghiệm trên là các nghiệm bội lẻ của (1). Mà f (x) và g (x) đều là các đa thức bậc 4 nên bậc của phương trình (1) nhỏ hơn hoặc bằng 4. Từ đó suy ra phương trình (1) là phương trình bậc 3.

Do đó phương trình (1) là phương trình bậc 3 có 3 nghiệm phân biệt nên phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt không trùng với các nghiệm của phương trình (1)

Suy ra phương trình $h\text{'}\left(x\right)=0$ có 5 nghiệm phân biệt và  đổi dấu qua các nghiệm này nên hàm số h (x) có 5 điểm cực trị.

Đáp án B

Ta có: $g\text{'}\left(x\right)=8\left(3x^2-3\right)f\text{'}\left(x^3-3x+3\right)-\left(12x^5-48x^3+48x^2+36x-48\right)$

$$\begin{gathered} g\text{'}\left(x\right)=24\left(x^2-1\right)f\text{'}\left(x^3-3x+3\right)-\frac{1}{2}\left(x^3-3x+3+1\right) \\ g\text{'}\left(x\right)=0\iff \left[\begin{array}{c}x=\pm 1\\ f\text{'}\left(x^3-3x+3\right)=\frac{1}{2}\left(x^3-3x+3+1\right)(*)\end{array}\right. \end{gathered}$$

Đặt $t=x^3-3x+3$, phương trình (*) trở thành $f\text{'}\left(t\right)=\frac{1}{2}\left(t+1\right)$, do đó số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số $y=f\text{'}\left(t\right)$ và $y=\frac{1}{2}\left(t+1\right)$

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy (*) $\iff \left[\begin{array}{c}t=-1\\ t=1\\ t=5\\ t=t_0\in \left(1;5\right)\end{array}\right.$

+ Với $t=-1\Rightarrow x^3-3x+3=-1$, phương trình này có 1 nghiệm không nguyên

+ Với $t=1\Rightarrow x^3-3x+3=1\iff \left[\begin{array}{c}x=1\\ x=-2\end{array}\right.$, trong đó x = 1 là nghiệm bội 2.

+ Với $t=5\Rightarrow x^3-3x+3=5\iff \left[\begin{array}{c}x=2\\ x=-1\end{array}\right.$, trong đó x = - 1 là nghiệm bội 2

+ Với $t=t_0\in \left(1;5\right)\Rightarrow 1<t_0<5$ ta có phương trình $x^3-3x+3=t_0$

Xét hàm số $h\left(x\right)=x^3-3x+3$ ta có: $h\text{'}\left(x\right)=3x^2-3=0\iff \left[\begin{array}{c}x=1\\ x=-1\end{array}\right.$

Từ BBT suy ra phương trình $x^3-3x+3=t_0$ có 3 nghiệm phân biệt

Suy ra phương trình $g\text{'}\left(x\right)=0$ có 8 nghiệm phân biệt và $g\text{'}\left(x\right)$ đổi dấu qua các nghiệm này ($x=\pm 1$ là nghiệm bội ba) nên hàm số g (x) có 8 điểm cực trị.

Đáp án B

Hàm số $y=f\left(x\right)=a{x}^4+b{x}^2+c$ xác định và liên tục trên D = R

Ta có: $f\left(0\right)=c>2017>0$

$f(-1)=f\left(1\right)=a+b+c<2017$

Do đó $\left[f\left(-1\right)-2017\right].\left[f\left(0\right)-2017\right]<0$ và $\left[f\left(1\right)-2017\right].\left[f\left(0\right)-2017\right]<0$

Mặt khác $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }f\left(x\right)=+\infty$ nên $\exists \alpha <0,\beta >0$ sao cho $f\left(\alpha \right)>2017,f\left(\beta \right)>2017$

$\left[f\left(\alpha \right)-2017\right].\left[f\left(-1\right)-2017\right]<0$ và $\left[f\left(\beta \right)-2017\right].\left[f\left(1\right)-2017\right]<0$

Suy ra đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)-2017$ cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt

Đồ thị hàm số $y=\left|f\left(x\right)-2017\right|$ có dạng:

Vậy số điểm cực trị của hàm số $y=\left|f\left(x\right)-2017\right|$ là 7

Đáp án A

Ta có: $f\text{'}\left(x\right)=0\iff x\left(x-1\right){\left(x+2\right)}^3=0\iff \left[\begin{array}{c}x=0\\ x=1\\ x=-2\end{array}\right.$ và các nghiệm này đều là nghiệm bội bậc lẻ nên hàm số đã cho có ba điểm cực trị.