Giải sbt Giải tích 12 Bài 2: Cực trị của hàm số

a) y = −2$x^2$ + 7x − 5. TXĐ: R

y′ = −4x + 7, y′ = 0 ⇔ x = 7/4

y′′ = −4 ⇒ y′′(7/4) = −4 < 0

Vậy x = 7/4 là điểm cực đại của hàm số và $y_{CD}$ = 9/8

b) y = $x^3 - 3x^2 - 24x + 7$. TXĐ: R

$y^{\text{'}}$ = $3x^2 - 6x -24 = 3(x^2 - 2x - 8)$

y′ = 0 ⇔ 

Vì y′′(−2) = −18 < 0, y′′(4) = 18 > 0 nên hàm số đạt cực đại tại x = -2; đạt cực tiểu tại x = 4 và $y_{CĐ}$ = y(-2) = 35; $y_{CT}$ = y(4) = -73.

e) TXĐ: R

y′ = 2(x + 2).${(x-3)}^3$ + 3${(x+2)}^2$.${(x-3)}^2$ = 5x(x + 2).${(x-3)}^2$

y′= 0 ⇔ 

Bảng biến thiên:

Từ đó suy ra $y_{CĐ}$ = y(-2) = 0; $y_{CT}$ = y(0) = -108.

a) TXĐ : R

y′= 0 ⇔ 

Bảng biến thiên:

Hàm số đạt cực đại tại x = 2, cực tiểu tại x = -4 và $y_{CĐ}$ = y(2) = 1/4; $y_{CT}$ = y(−4) = −1/8

b) Hàm số xác định và có đạo hàm với mọi x ≠ 1.

y′=0 ⇔ 

Bảng biến thiên:

Hàm số đạt cực đại tại x = 1 − $\sqrt{2}$ và đạt cực tiểu tại x = 1 + $\sqrt{2}$, ta có:

yCD = y(1 − $\sqrt{2}$)  = −2$\sqrt{2}$;

yCT = y(1 + $\sqrt{2}$) = 2$\sqrt{2}$.

c) TXĐ: R\{-1}

Hàm số đồng biến trên các khoảng và do đó không có cực trị.

d) Vì $x^2$ – 2x + 5 luôn luôn dương nên hàm số xác định trên ($-\infty ; +\infty$)

y′ = 0 ⇔ 

Bảng biến thiên:

Hàm số đạt cực đại tại x = −1/3, đạt cực tiểu tại x = 4 và $y_{CĐ}$ = y(−1/3) = 13/4; $y_{CT}$ = y(4) = 0

a) TXĐ: R

y′ = 0 ⇔ x = 64

Bảng biến thiên:

Vậy ta có $y_{CĐ}$ = y(0) = 0 và $y_{CT}$ = y(64) = -32.

b) Hàm số xác định trên khoảng ($-\infty ; +\infty$).

Bảng biến thiên:

Vậy $y_{CĐ}$ = y(−2) = 

c) Hàm số xác định trên khoảng (−$\sqrt{10}$;$\sqrt{10}$).

Vì y’ > 0 với mọi (−$\sqrt{10}$;$\sqrt{10}$) nên hàm số đồng biến trên khoảng đó và do đó không có cực trị.

d) TXĐ: D = (−$\infty$; −$\sqrt{6}$) ∪ ($\sqrt{6}$; +$\infty$)

Bảng biến thiên:

Từ đó ta thấy hàm số đạt cực đại tại x = -3, đạt cực tiểu tại x = -3 và $y_{CT}$ = y(3) = 9$\sqrt{3}$; $y_{CĐ}$ = y(−3) = −9$\sqrt{3}$

a) y = sin2x

Hàm số có chu kỳ T = π

Xét hàm số y=sin2x trên đoạn [0;π], ta có:

y' = 2cos2x

y' = 0 ⇔ 

Bảng biến thiên:

Do đó trên đoạn [0;π] , hàm số đạt cực đại tại π/4 , đạt cực tiểu tại 3π/4 và $y_{CD}$ = y(π/4) = 1; $y_{CT}$ = y(3π/4) = −1

Vậy trên R ta có:

$y_{CĐ}$ = y(π/4 + kπ) = 1;

$y_{CT}$ = y(3π/4 + kπ) = −1, k∈Z

b) Hàm số tuần hoàn chu kỳ nên ta xét trên đoạn [−π;π].

y′ = − sinx – cosx

y′ = 0 ⇔ tanx = −1 ⇔ x = −π4 + kπ, k∈Z

Lập bảng biến thiên trên đoạn [−π;π]

Hàm số đạt cực đại tại x = −π4 + k2π , đạt cực tiểu tại x = 3π4 + k2π (k∈Z) và

$y_{CĐ}$ = y(−π4 + k2π) = $\sqrt{2}$;

$y_{CT}$ = y(3π4 + k2π) = −$\sqrt{2}$ (k∈Z).

c) Ta có:

Do đó, hàm số đã cho tuần hoàn với chu kỳ π.

Ta xét hàm số y trên đoạn [0;π]:

y′ = sin2x

y′ = 0 ⇔ sin2x = 0 ⇔ x = kπ/2 (k∈Z)

Lập bảng biến thiên trên đoạn [0,π]

Từ đó, ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại x = kπ/2 với k chẵn, đạt cực đại tại x = kπ/2 với k lẻ, và

$y_{CT}$ = y(2mπ) = 0; yCT = y(2mπ) = 0;

$y_{CĐ}$ = y((2m+1)π/2) = 1 (m∈Z)

TXĐ: D = R

y’ = 3$x^2$ + 4mx + m

Hàm số có cực trị khi và chỉ khi y’ đổi dấu trên R.

⇔ 3$x^2$ + 4mx + m có hai nghiệm phân biệt.

⇔ Δ’ = 4$m^2$ -3m > 0 ⇔ m(4m – 3) > 0

⇔ 

Vậy hàm số đã cho có cực đại, cực tiểu khi m < 0 hoặc m > 3/4.

TXĐ: D = R

y’ = 3$x^2$ – 4x + m; y’ = 0 ⇔ 3$x^2$ – 4x + m = 0

Phương trình trên có hai nghiệm phân biệt khi:

∆’ = 4 – 3m > 0 ⇔ m < 4/3 (∗)

Hàm số có cực trị tại x = 1 thì :

y’(1) = 3 – 4 + m = 0 ⇒ m = 1 (thỏa mãn điều kiện (∗) )

Mặt khác, vì:

y’’ = 6x – 4 ⇒ y’’(1) = 6 – 4 = 2 > 0

cho nên tại x = 1, hàm số đạt cực tiểu.

Vậy với m = 1, hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x = 1