63 câu Trắc nghiệm Cực trị của hàm số có đáp án (P2)

Đáp án A

+ Với m = 0 thì ta có hàm số $y=3x^2-1$ có 3 > 0 nên đồ thị hàm số là một parabol có bề lõm hướng lên trên $\Rightarrow$ hàm số có điểm cực tiểu x = 0.

+ Với $m\ne 0$ ta có hàm trùng phương $y=m{x}^4+(m+3)x^2+2m-1$

$\Rightarrow y\text{'}=4m{x}^3+2(m+3)x=x\left(4m{x}^2+2m+6\right)$; $y\text{'}\text{'}=12m{x}^2+2(m+3)$

Xét phương trình $y\text{'}=0\iff x\left(4m{x}^2+2m+6\right)\iff \left[\begin{array}{c}x=0\\ x^2=\frac{-m-3}{2m} \left(2\right)\end{array}\right.$

Nếu hàm số có cực đại mà không có cực tiểu thì phương trình y' = 0 có nghiệm x = 0 duy nhất . hay phương trình (2) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép x = 0.

$\iff \frac{-m-3}{2m}\le 0\iff \frac{m+3}{2m}\ge 0\iff \left[\begin{array}{c}m\le -3\\ m>0\end{array}\right.$

Với m > 0 thì phương trình y’ = 0 có nghiệm duy nhất x = 0 và $y\text{'}\text{'}\left(0\right)=2\left(m+3\right)>0$, do đó x = 0 điểm cực tiểu của hàm số (loại)

Với m < - 3 thì $y\text{'}\text{'}\left(0\right)=2\left(m+3\right)<0$, do đó x = 0 là điểm cực đại (nhận)

Với m = - 3 thì $y\text{'}=-12x^3=0\iff x=0$ và y’ đổi dấu từ dương sang âm qua nghiệm x = 0

Do đó x = 0 là điểm cực đại của hàm số (nhận)

Vậy $m\le -3$

Đáp án C

TXĐ: D = R

$y\text{'}=-x^2+\frac{2}{3}mx\Rightarrow y\text{'}\text{'}=-2x+\frac{2}{3}m$

Hàm số đã cho đạt cực đại tại x = 2

$$\begin{gathered} \iff \left\{\begin{array}{c}y\text{'}\left(2\right)=0\\ y\text{'}\text{'}\left(2\right)<0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}-2^2+\frac{2}{3}m.2=0\\ -2.2+\frac{2}{3}m<0\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{c}-4+\frac{4}{3}m=0\\ -4+\frac{2}{3}m<0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}m=3\\ m<6\end{array}\right.\iff m=3 \end{gathered}$$

Đáp án D

TXĐ: D = R

Ta có: $y\text{'}=3x^2-4mx+m^2\Rightarrow y\text{'}\text{'}=6x-4m$

Để x = 1 là điểm cực tiểu của hàm số thì:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{c}y\text{'}\left(1\right)=0\\ y\text{'}\text{'}\left(1\right)>0\end{array}\iff \left\{\begin{array}{c}{m}^2-4m+3=0\\ 6-4m>0\end{array}\right.\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{c}m=1;m=3\\ m<\frac{3}{2}\end{array}\right.\iff m=1 \end{gathered}$$

Đáp án C

Ta có: $\left\{\begin{array}{c}y\text{'}=12x^2+2mx-12\\ y\text{'}\text{'}=24x+2m\end{array}\right.$

Từ giả thiết bài toán ta có $y\text{'}(-2)=48-4m-12=0\iff m=9$

Thay vào $y\text{'}\text{'}\left(-2\right)=-48+2m=-48+18=-30<0$

Khi đó, hàm số đạt cực đại tại x = - 2

Vậy không có giá trị m thỏa mãn.

Đáp án B

$$\begin{gathered} y=x^3-\left(3m+1\right)x^2+\left(m^2+3m+2\right)x+3 \\ y\text{'}=3x^2-\left(6m+2\right)x+m^2+3m+2 \end{gathered}$$

Để cực tiểu và cực đại của đồ thị hàm số y nằm về hai phía của trục tung thì $x_1{x}_2<0$, với $x_1,x_2$ là hai nghiệm của phương trình y' = 0

$$\begin{gathered} \iff 3\left(m^2+3m+2\right)<0\iff m^2+3m+2<0 \\ \iff -2<m<-1 \end{gathered}$$

Đáp án C

$y\text{'}=x^2-2mx+2m-4$

Để hàm số có cực đại cực tiểu $\iff \Delta \text{'}>0,\forall m\iff m^2-2m+4>0,\forall m$

Khi đó phương trình y’ = 0 có hai nghiệm $x_1,x_2$ thỏa mãn: $\left\{\begin{array}{c}{x}_1+x_2=-\frac{b}{a}=2m\\ x_1.x_2=\frac{c}{a}=2m-4\end{array}\right.$

Ta có: $x_1^2+x_2^2=x_1.x_2+10$

$$\begin{gathered} \iff {\left(x_1+x_2\right)}^2-2x_1.x_2-x_1.x_2-10=0 \\ \iff {\left(x_1+x_2\right)}^2-3x_1.x_2-10=0 \\ \iff {\left(2m\right)}^2-3.\left(2m-4\right)-10=0 \\ \iff 4m^2-6m+2=0\left[\begin{array}{c}m=1\\ m=\frac{1}{2}\end{array}\right. \end{gathered}$$

Đáp án A

TXĐ: D = R

Ta có hàm số $y=\frac{2}{3}{x}^3-m{x}^2-2\left(3m^2-1\right)x+\frac{2}{3}$ có đạo hàm là $y\text{'}=2x^2-2mx-2\left(3m^2-1\right)$

Cho $y\text{'}=0\iff 2x^2-2mx-2\left(3m^2-1\right)=0$

$\Rightarrow x^2-mx-3m^2+1=0 \left(1\right)$

Để hàm số có 2 điểm cực trị thì phương trình (1) phải có 2 nghiệm phân biệt

Phương trình (1) có hai nghiệm khi và chỉ khi

$$\begin{gathered} \Delta =m^2+3m^2-1>0 \\ \iff 4m^2-1>0\iff \left[\begin{array}{c}m>\frac{1}{2}\\ m<-\frac{1}{2}\end{array}\right. \end{gathered}$$

Khi đó hai điểm cực trị $x_1,x_2$ của hàm số chính là hai nghiệm phân biệt của phương trình (1). Áp dụng định lí Viet ta có: $\left\{\begin{array}{c}{x}_1+x_2=m\\ x_1.x_2=1-3m^2\end{array}\right.$

Theo bài ra ta có:

$$\begin{gathered} x_1{x}_2+2\left(x_1+x_2\right)=1 \\ \iff 1-3m^2+2m=1 \\ \iff 3m^2-2m=0 \\ \iff \left[\begin{array}{c}m=0\left(ktm\right)\\ m=\frac{2}{3}\left(tm\right)\end{array}\right. \end{gathered}$$

Đáp án A

Xét phương trình $y\text{'}=3x^2-6x+m=0$ (*). Hàm số có 2 cực trị $\iff$ phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt

$\iff \Delta \text{'}=9-3m>0\iff m<3$

Ta có $x_1,x_2$ là 2 nghiệm của (*), theo Viet ta có: $\left\{\begin{array}{c}{x}_1+x_2=2\\ x_1.x_2=\frac{m}{3}\end{array}\right.$

Khi đó $x_1^2+x_2^2-x_1{x}_2=13$

$$\begin{gathered} \iff {\left(x_1+x_2\right)}^2-3x_1{x}_2=13 \\ \iff 2^2-3.\frac{m}{3}=13\iff m=-9 \end{gathered}$$

Vậy $m\in \left(-15;-7\right)$