Cho hàm số $f$ có đạo hàm trên khoảng $I$. Xét các mệnh đề sau:

(I). Nếu $f^{\text{'}}\left(x\right)\ge 0,\forall x\in I$, $\forall x\in I$ (dấu bằng chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm trên $I$) thì hàm số đồng biến trên $I$.

(II). Nếu $f^{\text{'}}\left(x\right)\le 0,\forall x\in I$, $\forall x\in I$ (dấu bằng chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm trên $I$) thì hàm số nghịch biến trên $I$.

(III). Nếu $f^{\text{'}}\left(x\right)\le 0,\forall x\in I$, $\forall x\in I$ thì hàm số nghịch biến trên khoảng $I$.

(IV). Nếu $f^{\text{'}}\left(x\right)\le 0,\forall x\in I$, $\forall x\in I$ và $f^{\text{'}}\left(x\right)=0$ tại vô số điểm trên $I$ thì hàm số $f$ không thể nghịch biến trên khoảng $I$.

Trong các mệnh đề trên. Mệnh đề nào đúng, mệnh đề nào sai?

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left(\frac{1}{3};1\right)$.

B. Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left(-\infty ;\frac{1}{3}\right)$.

C. Hàm số đồng biến trên khoảng $\left(\frac{1}{3};1\right)$.

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left(1;+\infty \right)$.

A. Hàm số $f\left(x\right)$ là hàm hằng (tức là không đổi) trên khoảng $\left(1;2\right)$.

B. Hàm số $f\left(x\right)$ đồng biến trên khoảng $\left(0;3\right)$.

C. Hàm số $f\left(x\right)$ đồng biến trên khoảng $\left(2;3\right)$.

D. Hàm số $f\left(x\right)$ đồng biến trên khoảng $\left(0;1\right)$.

A. $f\left(1\right)>f\left(2\right)$.

B. $f\left(\frac{4}{3}\right)>f\left(\frac{5}{4}\right)$.

C. $f\left(1\right)>f\left(-1\right)$.

D. $f\left(3\right)>f\left(\mathrm{\pi }\right)$.

A. Hàm số $y=f\left(x\right)$ đồng biến trên $\left(a;b\right)$ khi và chỉ khi $f^{\text{'}}\left(x\right)\ge 0\forall x\in \left(a;b\right) và f^{\text{'}}\left(x\right)=0$ tại hữu hạn giá trị $x\in \left(a;b\right)$.

B. Hàm số $y=f\left(x\right)$ đồng biến trên $\left(a;b\right)$ khi và chỉ khi $f^{\text{'}}\left(x\right)<0\forall x\in \left(a;b\right)$.

C. Hàm số $y=f\left(x\right)$ đồng biến trên $\left(a;b\right)$ khi và chỉ khi $f^{\text{'}}\left(x\right)\le 0\forall x\in \left(a;b\right)$.

D. Hàm số $y=f\left(x\right)$ đồng biến trên $\left(a;b\right)$ khi và chỉ khi $f^{\text{'}}\left(x\right)\ge 0\forall x\in \left(a;b\right)$.

A. Nếu $f^{\text{'}}\left(x\right)\ge 0\forall x\in \left(a;b\right)$ thì hàm số $y=f\left(x\right)$ đồng biến trên $\left(a;b\right)$.

B. Nếu $f^{\text{'}}\left(x\right)>0\forall x\in \left(a;b\right)$ thì hàm số $y=f\left(x\right)$ đồng biến trên $\left(a;b\right)$.

C. Hàm số $y=f\left(x\right)$ đồng biến trên $\left(a;b\right)$ khi và chỉ khi $f^{\text{'}}\left(x\right)\ge 0\forall x\in \left(a;b\right)$.

D. Hàm số $y=f\left(x\right)$ đồng biến trên $\left(a;b\right)$ khi và chỉ khi $f^{\text{'}}\left(x\right)>0\forall x\in \left(a;b\right)$.

A. Với mọi $x_1>x_2\in \mathrm{ℝ}\Rightarrow f\left(x_1\right)<f\left(x_2\right)$.

B. Với mọi $x_1,x_2\in \mathrm{ℝ}\Rightarrow f\left(x_1\right)>f\left(x_2\right)$.

C. Với mọi $x_1,x_2\in \mathrm{ℝ}\Rightarrow f\left(x_1\right)<f\left(x_2\right)$.

D. Với mọi $x_1<x_2\in \mathrm{ℝ}\Rightarrow f\left(x_1\right)<f\left(x_2\right)$.

A. $\left(4;5\right)$.

B. $\left(0;4\right)$.

C. $\left(-2;2\right)$.

D. $\left(-1;3\right)$.