Cho tam giác đều ABC. Gọi E, D, F là ba điểm lần lượt nằm trên ba cạnh AB, AC, BC sao cho AD = CF = BE. Chứng minh tam giác DEF là tam giác đều.

a) Vì BD = BA (giả thiết) nên tam giác ABD cân tại B.

Suy ra $\widehat{BAD}=\widehat{BDA}$  (hai góc ở đáy).

Vì CE = CA (giả thiết) nên tam giác ACE cân tại C.

Suy ra $\widehat{CAE}=\widehat{CEA}$  (hai góc ở đáy).

Vì tam giác ABC cân tại A nên $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$

• Xét DABC có: $\widehat{BAC}+\widehat{CBA}+\widehat{BCA}=180°$  (tổng ba góc của một tam giác)

Mà  $\widehat{BAC}=120°$ (giả thiết), $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$

Suy ra $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=\frac{180°-\widehat{BAC}}{2}=\frac{180°-120°}{2}=30°$ .

• Xét DABD có:  $\widehat{BAD}+\widehat{DBA}+\widehat{BDA}=180°$ (tổng ba góc của một tam giác)

Mà $\widehat{ABD}=30°$ ,$\widehat{BAD}=\widehat{BDA}$

Suy ra $\widehat{ADB}=\frac{180°-\widehat{ABD}}{2}=\frac{180°-30°}{2}=75°$ .

• Xét DACE có: $\widehat{ACE}+\widehat{AEC}+\widehat{CAE}=180°$  (tổng ba góc của một tam giác)

Mà $\widehat{ACE}=30°$ , $\widehat{CAE}=\widehat{CEA}$

Suy ra $\widehat{AEC}=\frac{180°-\widehat{ACE}}{2}=\frac{180°-30°}{2}=75°$

Xét tam giác ADE có $\widehat{ADE}=\widehat{AED}$  (cùng bằng 75°).

Suy ra tam giác AED cân tại A.

Vậy DABD cân tại B, DACE cân tại C và DAED cân tại A.

• Vì tam giác ABC cân tại A nên $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$  (hai góc ở đáy).

Xét tam giác ABC có $\widehat{ABC}+\widehat{ACB}+\widehat{BAC}=180°$  (tổng ba góc của một tam giác)

Do đó $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=\frac{180°-\widehat{BAC}}{2}=\frac{180°-56°}{2}=62°$  .

• Ta có $\widehat{ACB}+\widehat{ACM}=180°$  (hai góc kề bù)

Suy ra $\widehat{ACM}=180°-\widehat{ACB}=180°-62°=118°$ .

• Vì AC = CM (giả thiết) nên tam giác ACM cân tại C.

Suy ra $\widehat{CAM}=\widehat{CMA}$  (hai góc ở đáy).

Xét DAMC có: $\widehat{AMC}+\widehat{ACM}+\widehat{MAC}=180°$  (tổng ba góc của một tam giác).

Do đó $\widehat{CAM}=\widehat{CMA}=\frac{180°-\widehat{ACM}}{2}=\frac{180°-118°}{2}=31°$ .

Ta có $\widehat{BAM}=\widehat{BAC}+\widehat{CAM}=56°+31°=87°$ .

Vậy $\widehat{BAM}=87°,\widehat{ABM}=62°,\widehat{AMB}=31°.$