Câu hỏi:

19/08/2025 2,866

Cho a, b là các số dương thỏa mãn: $a^{3} + b^{3} = a^{5} + b^{5}$ , Chứng minh rằng: $a^{2} + b^{2} \leq 1 + a b$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bài tập Toán 8 Chủ đề 4: Bất phương trình đưa về dạng bậc nhất có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có:

$a^{2} + b^{2} \leq 1 + a b \Leftrightarrow a^{2} + b^{2} - a b \leq 1 \Leftrightarrow (a + b) (a^{2} + b^{2} - a b) \leq a + b$

$\Leftrightarrow a^{3} + b^{3} \leq a + b \Leftrightarrow (a^{3} + b^{3}) (a^{3} + b^{3}) \leq (a + b) (a^{5} + b^{5}) \Leftrightarrow 2 a^{3} b^{3} \leq a b^{5} + a^{5} b \Leftrightarrow a b (a^{4} - 2 a^{2} b^{2} + b^{4}) \geq 0 \Leftrightarrow a b {(a^{2} - b^{2})}^{2} \geq 0, \forall a, b > 0$

Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho a.b.c = 1, $a^{3} > 36$ , CMR : $\frac{a^{2}}{3} + b^{2} + c^{2} > a b + b c + c a$

Xem đáp án

Lời giải

Xét hiệu $\frac{a^{2}}{4} + \frac{a^{2}}{12} + b^{2} + c^{2} - a b - b c - a c > 0$

$\Leftrightarrow (\frac{a^{2}}{4} + b^{2} + c^{2} - a b - a c + 2 b c) + \frac{a^{2}}{12} - 3 b c > 0 \Leftrightarrow {(\frac{a}{2} - b - c)}^{2} + \frac{a^{3} - 36 a b c}{12 a}$

Do $a^{3} > 36 = > \frac{a^{3} - 36 a b c}{12 a} > 0$ =>ĐPCM

Câu 2

Giải bất phương trình

$a) \frac{x + 1}{99} + \frac{x + 4}{96} + \frac{x + 5}{95} \geq - 3$

Xem đáp án

Lời giải

$\begin{array}{l} a) \frac{x + 1}{99} + \frac{x + 4}{96} + \frac{x + 5}{95} \geq - 3 \\ \Leftrightarrow \frac{x + 100}{99} + \frac{x + 100}{96} + \frac{x + 100}{95} \geq 0 \\ \Leftrightarrow (x + 100) (\frac{1}{99} + \frac{1}{96} + \frac{1}{95}) \geq 0 \\ \Leftrightarrow x + 100 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq - 10 \end{array}$

Vậy $x \geq - 10$

Câu 3

Giải bất phương trình

$a) \frac{2 x (3 x - 5)}{x^{2} + 1} > 0$

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Cho a, b, c > 0, CMR: $\frac{a}{b + c} + \frac{b}{c + a} + \frac{c}{a + b} \geq \frac{3}{2}$

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Cho a, b > 0, CMR: $\frac{a}{b + 1} + \frac{b}{a + 1} + \frac{1}{a + b} \geq \frac{3}{2}$

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Giải bất phương trình

$a) \frac{x + 5}{95} + \frac{x + 6}{94} + \frac{x + 7}{93} \geq \frac{x + 8}{92} + \frac{x + 9}{91} + \frac{x + 10}{90}$

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Tiếng Anh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

ĐHQG Hồ Chí Minh

ĐH Bách Khoa

ĐHQG Hà Nội

Bộ Công an

ĐHSP Hà Nội

Bằng lái xe

English Test

IT Test

Đại học

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Global success

iLearn Smart World

Friends Global

Explore new worlds

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử