Cho hình thang ABCD (AB//CD) có O là giao điểm của hai đường chéo. Đường thẳng qua O song song với hai đáy cắt AD,BC lần lượt ở E và F. Chứng minh rằng $OE=OF$ .

Áp dụng hệ quả của định lí Ta-lét cho $OI\parallel AB,OI\parallel DC$ , ta được:

                         $\frac{OI}{AB}=\frac{CI}{CB}$(1); $\frac{OI}{DC}=\frac{BI}{BC}$  (2).

Cộng theo vế các đẳng thức (1) và (2), ta được:

                       $\frac{OI}{AB}+\frac{OI}{CD}=\frac{BI+IC}{BC}=\frac{BC}{BC}=1\Rightarrow \frac{1}{AB}+\frac{1}{CD}=\frac{1}{OI}$ .

Đặt $AM=a,MB=b,DN=c,NC=d$ .

Ta phải chứng minh $a=b,c=d$ .

Áp dụng hệ quả của định lí Ta-lét cho $AM\parallel CN,MB\parallel ND$  và $AM\parallel DN,MB\parallel NC$ , ta được:

                     $\left\{\begin{array}{c}\frac{AM}{CN}=\frac{MO}{ON}\\ \frac{MB}{ND}=\frac{MO}{ON}\end{array}\right.\Rightarrow \frac{AM}{CN}=\frac{MB}{ND}$ , hay $\frac{a}{c}=\frac{b}{d}\Rightarrow \frac{a}{b}=\frac{c}{d}$   (1);

                      $\left\{\begin{array}{c}\frac{AM}{DN}=\frac{IM}{IN}\\ \frac{MB}{NC}=\frac{IM}{IN}\end{array}\Rightarrow \frac{AM}{DN}=\frac{MB}{NC}\right.$  , hay  $\frac{a}{d}=\frac{b}{c}\Rightarrow \frac{a}{b}=\frac{d}{c}$   (2).

Nhân theo vế các đẳng thức (1) và (2) ta được ${\left(\frac{a}{b}\right)}^2=\frac{cd}{cd}=1\Rightarrow \frac{a}{b}=1\Rightarrow a=b$ .

Thay $a=b$  vào (1) ta được $c=d$ .

Nhận xét: Trong một hình thang có hai đáy không bằng nhau thì giao điểm của hai cạnh bên, giao điểm của hai đường chéo và trung điểm của hai đáy là bốn điểm thẳng hàng.

Đây chính là nội dung của: Bổ đề về hình thang.