Dạng 2. Chứng minh hệ thức hình học

Thi Online Bài tập Toán 8 Chủ đề 2: Định lí đảo và hệ quả của Định lí Ta-lét có đáp án

Dạng 2. Chứng minh hệ thức hình học

1019 lượt thi
3 câu hỏi
45 phút

Câu 1:

Cho hình thang ABCD (AB//CD) có O là giao điểm của hai đường chéo. Đường thẳng qua O song song với hai đáy cắt AD,BC lần lượt ở E và F. Chứng minh rằng $O E = O F$ .

Áp dụng hệ quả của định lí Ta-lét cho $E O ∥ D C, O F ∥ D C$ và $A B ∥ D C$ , ta được:

\{\begin{matrix} \frac{E O}{D C} = \frac{A O}{A C} \\ \frac{O F}{D C} = \frac{B O}{B D} \\ \frac{A O}{A C} = \frac{B O}{B D} \end{matrix} \Rightarrow \frac{E O}{D C} = \frac{O F}{D C} \Rightarrow E O = O F

Câu 2:

Cho hình thang ABCD (AB//CD). Một đường thẳng qua giao điểm O của hai đường chéo và song song với hai đáy, cắt BC ở I. Chứng minh rằng $\frac{1}{A B} + \frac{1}{C D} = \frac{1}{O I}$ .

Xem đáp án

Áp dụng hệ quả của định lí Ta-lét cho $O I ∥ A B, O I ∥ D C$ , ta được:

$\frac{O I}{A B} = \frac{C I}{C B}$ (1); $\frac{O I}{D C} = \frac{B I}{B C}$ (2).

Cộng theo vế các đẳng thức (1) và (2), ta được:

$\frac{O I}{A B} + \frac{O I}{C D} = \frac{B I + I C}{B C} = \frac{B C}{B C} = 1 \Rightarrow \frac{1}{A B} + \frac{1}{C D} = \frac{1}{O I}$ .

Câu 3:

Cho hình thang ABCD (AB//CD $, A B \neq C D$ ) có O là giao điểm của AC và BD, I là giao điểm của AD và BC. Đường thẳng IO cắt AB và CD theo thứ tự ở M và N. Chứng minh rằng M là trung điểm của AB,N là trung điểm của CD. Có nhận xét gì về kết quả của bài toán.

Xem đáp án

Đặt $A M = a, M B = b, D N = c, N C = d$ .

Ta phải chứng minh $a = b, c = d$ .

Áp dụng hệ quả của định lí Ta-lét cho $A M ∥ C N, M B ∥ N D$ và $A M ∥ D N, M B ∥ N C$ , ta được:

$\{\begin{matrix} \frac{A M}{C N} = \frac{M O}{O N} \\ \frac{M B}{N D} = \frac{M O}{O N} \end{matrix} \Rightarrow \frac{A M}{C N} = \frac{M B}{N D}$ , hay $\frac{a}{c} = \frac{b}{d} \Rightarrow \frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ (1);

$\{\begin{matrix} \frac{A M}{D N} = \frac{I M}{I N} \\ \frac{M B}{N C} = \frac{I M}{I N} \end{matrix} \Rightarrow \frac{A M}{D N} = \frac{M B}{N C}$ , hay $\frac{a}{d} = \frac{b}{c} \Rightarrow \frac{a}{b} = \frac{d}{c}$ (2).

Nhân theo vế các đẳng thức (1) và (2) ta được ${(\frac{a}{b})}^{2} = \frac{c d}{c d} = 1 \Rightarrow \frac{a}{b} = 1 \Rightarrow a = b$ .

Thay $a = b$ vào (1) ta được $c = d$ .

Nhận xét: Trong một hình thang có hai đáy không bằng nhau thì giao điểm của hai cạnh bên, giao điểm của hai đường chéo và trung điểm của hai đáy là bốn điểm thẳng hàng.

Đây chính là nội dung của: Bổ đề về hình thang.

Bắt đầu thi để xem toàn bộ câu hỏi trong đề

Bài thi liên quan:

Các bài thi hot trong chương:

Bài tập Toán 8 Chủ đề 1: Tam giác đồng dạng.Định lí Ta-Lét trong tam giác có đáp án

( 1 K lượt thi )

Bài tập Toán 8 Chủ đề 3: Tính chất đường phân giác của tam giác có đáp án

( 806 lượt thi )

Bài tập Toán 8 Chủ đề 4: Khái niệm hai tam giác đồng dạng có đáp án

( 793 lượt thi )

Bài tập Toán 8 Chủ đề 5: Trường hợp đồng dạng thứ nhất có đáp án

( 702 lượt thi )

Bài tập Toán 8 Chủ đề 6: Trường hợp đồng dạng thứ 2 có đáp án

( 864 lượt thi )

Bài tập Toán 8 Chủ đề 3: Rút gọn phân thức có đáp án

( 2.1 K lượt thi )

Bài tập Toán 8 Chủ đề 1: Phân thức đại số có đáp án

( 1.8 K lượt thi )

Bài tập Toán 8 Chủ đề 8: Phép trừ các phân thức đại số có đáp án

( 1.7 K lượt thi )

Bài tập Toán 8 Chủ dề 13: Ôn tập chương 2 có đáp án

( 1.7 K lượt thi )

Bài tập Toán 8 Chủ đề 11: Hình chữ nhật có đáp án

( 1.6 K lượt thi )

Đánh giá trung bình

Thi Online Bài tập Toán 8 Chủ đề 2: Định lí đảo và hệ quả của Định lí Ta-lét có đáp án