Cho hình thang ABCD (AB//CD $,AB\ne CD$) có O là giao điểm của AC và BD, I là giao điểm của AD và BC. Đường thẳng IO cắt AB và CD theo thứ tự ở M và N. Chứng minh rằng M là trung điểm của AB,N là trung điểm của CD. Có nhận xét gì về kết quả của bài toán.

Đặt $AM=a,MB=b,DN=c,NC=d$ .

Ta phải chứng minh $a=b,c=d$ .

Áp dụng hệ quả của định lí Ta-lét cho $AM\parallel CN,MB\parallel ND$  và $AM\parallel DN,MB\parallel NC$ , ta được:

                     $\left\{\begin{array}{c}\frac{AM}{CN}=\frac{MO}{ON}\\ \frac{MB}{ND}=\frac{MO}{ON}\end{array}\right.\Rightarrow \frac{AM}{CN}=\frac{MB}{ND}$ , hay $\frac{a}{c}=\frac{b}{d}\Rightarrow \frac{a}{b}=\frac{c}{d}$   (1);

                      $\left\{\begin{array}{c}\frac{AM}{DN}=\frac{IM}{IN}\\ \frac{MB}{NC}=\frac{IM}{IN}\end{array}\Rightarrow \frac{AM}{DN}=\frac{MB}{NC}\right.$  , hay  $\frac{a}{d}=\frac{b}{c}\Rightarrow \frac{a}{b}=\frac{d}{c}$   (2).

Nhân theo vế các đẳng thức (1) và (2) ta được ${\left(\frac{a}{b}\right)}^2=\frac{cd}{cd}=1\Rightarrow \frac{a}{b}=1\Rightarrow a=b$ .

Thay $a=b$  vào (1) ta được $c=d$ .

Nhận xét: Trong một hình thang có hai đáy không bằng nhau thì giao điểm của hai cạnh bên, giao điểm của hai đường chéo và trung điểm của hai đáy là bốn điểm thẳng hàng.

Đây chính là nội dung của: Bổ đề về hình thang.