Cho tam giác ABC. Gọi Bx và Cy lần lượt là các đường chứa tia phân giác của các góc ngoài tại đỉnh B và C. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A trên Bx và Cy.

a) Chứng minh rằng tứ giác BCKH là hình thang;

Gọi O là trung điểm của BC.

Xét $\Delta EBC$ có OMlà đường trung bình

=> OM // CE và $OM=\frac{CE}{2}$.

Xét $\Delta DBC$ có ON là đường trung bình

=> ON // BD và $ON=\frac{BD}{2}$.

Ta có: $\widehat{M_1}=\widehat{AQP},\widehat{N_1}=\widehat{APQ}$ (so le trong).

$\Delta APQ$ cân tại $A\iff \widehat{Q}=\widehat{P}\iff \widehat{N_1}=\widehat{M_1}\iff OM=ON\iff CE=BD$.

Gọi M và N lần lượt là trung điểm của BC và CA.

Gọi F và G lần lượt là trung điểm của AH và BG.

Ta có MN là đường trung bình của $\Delta ABC$, FG là đường trung bình của $\Delta ABH$.

Suy ra MN // AB và $MN=\frac{1}{2}AB$

FG = AB và $FG=\frac{1}{2}AB$.

Do đó MN // FG và MN = FG. Dễ thấy $OM\text{//}AD,ON\text{//}BE$.

$\Delta OMN$ và $\Delta HFG$ có: $MN=FG;\widehat{OMN}=\widehat{HFG};\widehat{ONM}=\widehat{HGF}$ (hai góc có cạnh tương ứng song song).

Vậy $\Delta OMN=\Delta HFG\left(\text{g.c.g}\right)\Rightarrow OM=HF=\frac{AH}{2}$.