Cho tam giác ABC, trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm của AM, D là giao điểm của BI và AC

a) Chứng minh: $AD=\frac{1}{2}DC$

Gọi giao điểm của AC và BD là G. Đường thẳng đi qua G vuông góc với AB, CD lần lượt tại E và F.

Theo tính chất đoạn chắn ta có  EF = AH = 10cm.

Ta chứng minh được $\Delta BCD=\Delta ADC(c.c.c);\Delta BCA=\Delta ADB(c.c.c)$ 

$\Rightarrow \widehat{BDC}=\widehat{ACD};\widehat{BAC}=\widehat{ABD}$

$\Rightarrow \Delta ABG;\Delta CDG$ cân tại G.

Mà GE, GF là đường cao của $\Delta ABG;\Delta CDG$ nên nó đồng thời là đường trung tuyến ứng với AB, CD.

Xét $\Delta ABG;\Delta CDG$ vuông tại G có GE, GF là đường trung tuyến.

$\Rightarrow GE=\frac{1}{2}AB;GF=\frac{1}{2}CD$ (Do trong tam giác vuông đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền)

$\Rightarrow GE+GF=\frac{1}{2}AB+\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}\left(AB+CD\right)\Rightarrow EF=\frac{1}{2}\left(AB+CD\right)$

Mà $MN=\frac{1}{2}\left(AB+CD\right)$(vì MN là đường trung bình của hình thang ABCD)

Suy ra: EF = MN = 10cm.