Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AD, BE, CF đồng quy tại H. Gọi M, N, P, Q lần lượt là hình chiếu của D trên AB, BE, CF, CA. Chứng minh rằng M, N, P, Q thẳng hàng.

Vì $MB//NF$  nên $\frac{OB}{OF}=\frac{OM}{ON}$  (định lý Ta-lét) (1)

Vì $NC//ME$  nên $\frac{OE}{OC}=\frac{OM}{ON}$  (định lý Ta-lét) (2)

Từ (1) và (2) ta có $\frac{OB}{OC}=\frac{OE}{OC}\Rightarrow BE//CF$  (định lý Ta-lét đảo).

Vậy $BE//CF$ .

Gọi M, O, N lần lượt là giao điểm của EF, AC, GH với BD.

Vì $ME//AO$  nên $\frac{ME}{AO}=\frac{DM}{DO}$  (hệ quả định lý Ta-lét) (1).

Vì $MF//CO$  nên $\frac{MF}{CO}=\frac{DM}{DO}$  (hệ quả định lý Ta-lét) (2).

Từ (1) và (2) ta có: $\frac{MF}{OC}=\frac{ME}{AO}\iff \frac{MF}{ME}=\frac{OC}{OA}$  (*)

Tương tự có: $\frac{NH}{NG}=\frac{OC}{OA}$  (**)

Từ (*) và (**) có $\frac{NH}{NG}=\frac{MF}{ME}$  mà $EF//GH$  suy ra GE, BD, HF đồng quy. Vậy EG, DB, HF đồng quy.