Từ bài toán quen thuộc cho (O,R). Trên nửa mặt phẳng bờ AB kẻ tiếp tuyến Ax và By với (O), lấy N thuộc (O), kẻ tiếp tuyến với (O) tại N cắt Ax tại C, cắt By tại D. Gọi I và K lần lượt là giao điểm của AN và CO, MN và OD. Chứng minh NIOK là hình chữ nhật.

Ta có bài toán sau:

Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Lấy điểm M thuộc đoạn thẳng QA, điểm N thuộc nửa đường tròn (O). Từ QA và  B vẽ các tiếp tuyến Ax và By. Đường thẳng qua N và vuông góc với NM cắt Ax, By thứ tự tại C và D.

a) Chứng minh $ACNM$  và $BDNM$  là các tứ giác nội tiếp đường tròn.

Cho đường tròn tâm O và điểm A nằm ngoài đường tròn. Kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C) là tiếp điểm. Trên cung nhỏ BC lấy một điểm M rồi kẻ các đường vuông góc MI, MH, MK xuống các cạnh BC, CA, AB. Gọi giao điểm của BM và IK là P; giao điểm của CM, IH là Q.

a)    Chứng minh rằng các tứ giác BIMK, CIMH nội tiếp được;

Ta có : Tứ giác ABCD nội tiếp (O) Ta phải chứng minh:  AC. BD = AB. DC + AD. BC

Cho nữa đường tròn tâm O đường kính AB , kẻ tiếp tuyến Bx và lấy hai điểm C và D thuộc nửa đường tròn. Các tia  AC và AD  cắt Bx lần lượt ở E, F (  F ở giữa B và E)

1. Chứng minh:$\widehat{ABD}=\widehat{DFB}$ .

b, Chứng minh MI² = MH.MK;

Cho tam giác ABC, 2 đường cao BB’, CC’. Chứng minh tứ   giác BCB’C’ nội tiếp.

Cho nửa đường tròn đường kính BC=2R. Từ điểm A trên nửa đường tròn vẽ $AH\perp BC$ . Nửa đường tròn đường kính BH,  CH lần lượt có tâm $O_1$ ; $O_2$  cắt $AB$  và CA thứ tự tại D và E.

a) Chứng minh tứ giác $ADHE$  là hình chữ nhật, từ đó tính DE biết  $R=25$và $BH=10$