Câu hỏi:
11/07/2024 487
Cho ABC và A'B'C' lần lượt là các tam giác vuông tại đỉnh A và A'. Gọi M, M' lần lượt là trung điểm của AC và A'C'. Chứng minh rằng:
a) BC2 + 3BA2 = 4BM2 và B'C'2 + 3B'A'2 = 4B'M'2;
b) Nếu \(\frac{{BC}}{{BM}} = \frac{{B'C'}}{{B'M'}}\) thì ∆ABC ᔕ ∆A'B'C'.
Cho ABC và A'B'C' lần lượt là các tam giác vuông tại đỉnh A và A'. Gọi M, M' lần lượt là trung điểm của AC và A'C'. Chứng minh rằng:
a) BC2 + 3BA2 = 4BM2 và B'C'2 + 3B'A'2 = 4B'M'2;
b) Nếu \(\frac{{BC}}{{BM}} = \frac{{B'C'}}{{B'M'}}\) thì ∆ABC ᔕ ∆A'B'C'.
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Lời giải
a) Vì M là trung điểm của AC nên AC = 2AM. Suy ra AC2 = (2AM)2 = 4AM2.
Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác ABC vuông tại A có:
BC2 = AB2 + AC2.
Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác ABM vuông tại A có:
BM2 = AB2 + AM2.
Do đó, 4BM2 = 4(AB2 + AM2) = 4AB2 + 4AM2 = 4AB2 + AC2
= 3AB2 + (AB2 + AC2) = 3AB2 + BC2.
Vậy BC2 + 3BA2 = 4BM2.
Vì M' là trung điểm của A'C' nên A'C' = 2A'M'. Suy ra A'C'2 = (2A'M')2 = 4A'M'2.
Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác A'B'C' vuông tại A' có:
B'C'2 = A'B'2 + A'C'2.
Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác A'B'M' vuông tại A' có:
B'M'2 = A'B'2 + A'M'2.
Do đó, 4B'M'2 = 4(A'B'2 + A'M'2) = 4A'B'2 + 4A'M'2 = 4A'B'2 + A'C'2
= 3A'B'2 + (A'B'2 + A'C'2) = 3A'B'2 + B'C'2.
Vậy B'C'2 + 3B'A'2 = 4B'M'2.
b) Giả sử \(\frac{{BC}}{{BM}} = \frac{{B'C'}}{{B'M'}}\). Suy ra \(\frac{{B{C^2}}}{{B{M^2}}} = \frac{{B'C{'^2}}}{{B'M{'^2}}}\) (1).
Theo phần a ta có: BC2 + 3BA2 = 4BM2, chia cả 2 vế cho BM2, ta được:
\(\frac{{B{C^2}}}{{B{M^2}}} + 3\frac{{B{A^2}}}{{B{M^2}}} = 4\).
Tương tự, ta có \(\frac{{B'C{'^2}}}{{B'M{'^2}}} + 3\frac{{B'A{'^2}}}{{B'M{'^2}}} = 4\).
Do đó, \(\frac{{B{C^2}}}{{B{M^2}}} + 3\frac{{B{A^2}}}{{B{M^2}}} = \frac{{B'C{'^2}}}{{B'M{'^2}}} + 3\frac{{B'A{'^2}}}{{B'M{'^2}}}\left( { = 4} \right)\) (2).
Từ (1) và (2), suy ra: \(\frac{{B{A^2}}}{{B{M^2}}} = \frac{{B'A{'^2}}}{{B'M{'^2}}}\) hay \(\frac{{BA}}{{BM}} = \frac{{B'A'}}{{B'M'}}\).
Do đó, \(\frac{{BC}}{{B'C'}} = \frac{{BM}}{{B'M'}} = \frac{{BA}}{{B'A'}}\).
Hai tam giác ABC vuông tại A và A'B'C' vuông tại A' có \(\frac{{BC}}{{B'C'}} = \frac{{BA}}{{B'A'}}\).
Vậy ∆ABC ᔕ ∆A'B'C' (ch – cgv).
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho tam giác nhọn ABC có các đường cao AD, BE, CF cắt nhau ở H. Chứng minh rằng:
a) HA . HD = HB . HE = HC . HF;
b) ∆AFC ᔕ ∆AEB và AF . AB = AE . AC;
c) ∆BDF ᔕ ∆EDC và DA là tia phân giác của góc EDF.
Cho tam giác nhọn ABC có các đường cao AD, BE, CF cắt nhau ở H. Chứng minh rằng:
a) HA . HD = HB . HE = HC . HF;
b) ∆AFC ᔕ ∆AEB và AF . AB = AE . AC;
c) ∆BDF ᔕ ∆EDC và DA là tia phân giác của góc EDF.
Xem đáp án »
11/07/2024
34,567
Câu 2:
Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Biết rằng AB = 6 cm và AC = 8 cm, hãy tính độ dài các đoạn thẳng BC, AH, BH, CH.
Xem đáp án »
11/07/2024
8,911
Câu 3:
Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Từ H kẻ đường thẳng HE vuông góc với AB (E thuộc AB). Chứng minh rằng:
a) ∆ABC ᔕ ∆HAC và CA2 = CH . CB.
b) \(\frac{{AH}}{{BC}} = \frac{{HE}}{{AB}}\).
Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Từ H kẻ đường thẳng HE vuông góc với AB (E thuộc AB). Chứng minh rằng:
a) ∆ABC ᔕ ∆HAC và CA2 = CH . CB.
b) \(\frac{{AH}}{{BC}} = \frac{{HE}}{{AB}}\).
Xem đáp án »
11/07/2024
8,560
Câu 4:
Cho tam giác nhọn ABC có các đường cao AD, BE, CF. Chứng minh rằng:
a) ∆BDF ᔕ ∆BAC và ∆CDE ᔕ ∆CAB;
b) BF . BA + CE . CA = BC2.
Cho tam giác nhọn ABC có các đường cao AD, BE, CF. Chứng minh rằng:
a) ∆BDF ᔕ ∆BAC và ∆CDE ᔕ ∆CAB;
b) BF . BA + CE . CA = BC2.
Xem đáp án »
11/07/2024
4,000
Câu 5:
Cho hình vuông ABCD và M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC. Gọi O là giao điểm của CM và DN.
a) Chứng minh rằng CM ⊥ DN.
b) Biết AB = 4 cm, hãy tính diện tích tam giác ONC.
Cho hình vuông ABCD và M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC. Gọi O là giao điểm của CM và DN.
a) Chứng minh rằng CM ⊥ DN.
b) Biết AB = 4 cm, hãy tính diện tích tam giác ONC.
Xem đáp án »
11/07/2024
3,075
Câu 6:
Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Cho M là một điểm nằm trên cạnh BC (M nằm giữa C và H). Kẻ đường thẳng qua M vuông góc với BC lần lượt cắt AC và tia đối của tia AB tại N và P. Chứng minh rằng:
a) ∆ANP ᔕ ∆HBA và ∆MCN ᔕ ∆MPB;
b) \(\frac{{MB}}{{MC}} \cdot \frac{{NC}}{{NA}} \cdot \frac{{PA}}{{PB}} = 1\).
Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Cho M là một điểm nằm trên cạnh BC (M nằm giữa C và H). Kẻ đường thẳng qua M vuông góc với BC lần lượt cắt AC và tia đối của tia AB tại N và P. Chứng minh rằng:
a) ∆ANP ᔕ ∆HBA và ∆MCN ᔕ ∆MPB;
b) \(\frac{{MB}}{{MC}} \cdot \frac{{NC}}{{NA}} \cdot \frac{{PA}}{{PB}} = 1\).
Xem đáp án »
11/07/2024
2,065
Câu 7:
Cho tam giác ABC vuông cân tại A và tam giác MNP có MN = MP = 4 cm và NP = \(4\sqrt 2 \) cm. Chứng minh rằng ∆ABC ᔕ ∆MNP.
Xem đáp án »
30/10/2023
794
về câu hỏi!