Cho hình thang ABCD có hai đáy là AB và CD. Trên AB lấy điểm M bất kỳ. Nối M với D và C. Trên DC lấy điểm N bất kỳ. Nối A với N cắt MD tại E. Nối B với N cắt MC ở G. Biết diện tích các hình tam giác AED và BGC lần lượt là 1,2\(c{m^2}\) và 3,4\(c{m^2}\). Tính diện tích hình tứ giác MGNE.

a) Ta có: \({S_{AMCD}} = \frac{{(AM + CD) \times AD}}{2}\) và \({S_{NBCD}} = \frac{{(BN + CD) \times BC}}{2}\)

Mà AM = BN và AD = BC nên \({S_{AMCD}} = {S_{NBCD}} \to \frac{{{S_{AMCD}}}}{{{S_{NBCD}}}} = 1\).

b) Theo đề bài ta có: \(AM = \frac{1}{3} \times AB\)

\( \to {S_{AMCD}} = \frac{{(AM + CD) \times AD}}{2} = \frac{{\left( {\frac{1}{3} \times AB + AB} \right) \times AD}}{2} = \frac{2}{3} \times AB \times AD = \frac{2}{3} \times {S_{ABCD}}\)

Vậy \(\frac{{{S_{AMCD}}}}{{{S_{ABCD}}}} = \frac{2}{3}\)

Đáp Số: a) 1                    b) \(\frac{2}{3}\)

Ta có: \({S_{MAD}} = {S_{MED}}\) (Chung chiều cao hạ từ M xuống AB và AD = DE)

\({S_{EMN}} = {S_{ECN}}\) (chung chiều cao hạ từ E xuống AC và MN = CN)

Do đó: \({S_{MAD}} + {S_{ECN}} = {S_{MED}} + {S_{EMN}} = {S_{DMNE}}\) (1)

Lại có: \({S_{ACE}} = {S_{MAD}} + {S_{ECN}} + {S_{MED}} + {S_{EMN}}\) (2)

Từ (1) và (2) có: \({S_{DMNE}} = \frac{1}{2} \times {S_{ACE}}\) (3)

Cũng có: \({S_{ACE}} = \frac{2}{3} \times {S_{ABC}}\) (chung chiều cao hạ từ C xuống AB và \(AE = \frac{2}{3} \times AB\)) \( \to {S_{ABC}} = \frac{3}{2} \times {S_{ACE}}\) (4)

Từ (3) và (4) có: \({S_{DMNE}} = \frac{1}{2} \times \frac{3}{2} \times {S_{ABC}} = \frac{3}{4} \times {S_{ABC}} \to {S_{ABC}} = \frac{4}{3} \times {S_{DMNE}}\)

Do đó: \({S_{ABC}} = \frac{4}{3} \times 12 = 16(c{m^2})\)

Đáp Số: 16 \(c{m^2}\).