Người ta muốn chế tạo một chiếc hộp hình hộp chữ nhật có thể tích 500 cm3 với yêu cầu dùng ít vật liệu nhất. Chiều cao của hộp phải là 2 cm, các kích thước khác là x, y với x > 0 và y > 0.
a) Hãy biểu thị y theo x.
b) Chứng tỏ rằng diện tích toàn phần của chiếc hộp là: \[S(x) = 500 + 4x + \frac{{1000}}{x}\]
c) Lập bảng biến thiên của hàm số S(x) trên khoảng (0; +∞).
d) Kích thước của hộp là bao nhiêu thì dùng ít vật liệu nhất? (Làm tròn kết quả đến hàng phần mười.)
Người ta muốn chế tạo một chiếc hộp hình hộp chữ nhật có thể tích 500 cm3 với yêu cầu dùng ít vật liệu nhất. Chiều cao của hộp phải là 2 cm, các kích thước khác là x, y với x > 0 và y > 0.
a) Hãy biểu thị y theo x.
b) Chứng tỏ rằng diện tích toàn phần của chiếc hộp là: \[S(x) = 500 + 4x + \frac{{1000}}{x}\]
c) Lập bảng biến thiên của hàm số S(x) trên khoảng (0; +∞).
d) Kích thước của hộp là bao nhiêu thì dùng ít vật liệu nhất? (Làm tròn kết quả đến hàng phần mười.)
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) Thế tích của hình hộp chữ nhật cần chế tạo là: \(V = 2xy\left( {\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)\).
Theo bài ra ta có \(V = 500\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}\), khi đó \(2xy = 500\), suy ra \(y = \frac{{250}}{x}\).
b) Diện tích xung quanh của chiếc hộp là: \({{\rm{S}}_{{\rm{xq}}}} = 2({\rm{x}} + {\rm{y}}) \cdot 2 = 4({\rm{x}} + {\rm{y}})\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right).\)
Diện tích toàn phần của chiếc hộp là: \({{\rm{S}}_{{\rm{tp}}}} = {{\rm{S}}_{{\rm{xq}}}} + 2\;{{\rm{S}}_{\rm{t}}} = 4({\rm{x}} + {\rm{y}}) + 2{\rm{xy}}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\)
Lại có \({\rm{y}} = \frac{{250}}{x}\) nên \({{\rm{S}}_{{\rm{tp}}}} = 4\left( {x + \frac{{250}}{x}} \right) + 2x \cdot \frac{{250}}{x} = 4x + \frac{{1000}}{x} + 500\).
Vậy diện tích toàn phần của chiếc hộp là \(S(x) = 500 + 4x + \frac{{1000}}{x}\).
c) Xét hàm số \(S(x) = 500 + 4x + \frac{{1000}}{x}\) với \(x \in (0; + \infty )\).
Ta có \(S(x) = 4 - \frac{{1000}}{{{x^2}}}\);
Trên khoảng \((0; + \infty ),S(x) = 0\) khi \(x = 5\sqrt {10} \).
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} S(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( {500 + 4x + \frac{{1000}}{x}} \right) = + \infty \);
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } S(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {500 + 4x + \frac{{1000}}{x}} \right) = + \infty \)
Bảng biến thiên
d) Đế dùng ít vật liệu nhất thì diện tích toàn phần của chiếc hộp phải nhó nhất.
Căn cứ vào bảng biến thiên ở câu c), ta thấy hàm số \(S({\rm{X}})\) đạt giá trị nhó nhất bằng: \(500 + \frac{{200\sqrt {10} }}{5}\)
tại \(x = 5\sqrt {10} \). Với \(x = 5\sqrt {10} \), ta có \(y = \frac{{250}}{{5\sqrt {10} }} = 5\sqrt {10} \).
Vậy kích thước 3 cạnh của chiếc hộp là \(2\;{\rm{cm}},5\sqrt {10} \;{\rm{cm}},5\sqrt {10} \;{\rm{cm}}\) thì dùng ít vật liệu nhất.
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 1 file word cấu trúc mới 2025 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
a) Ta có: \[f(52) = \frac{{26.52 + 10}}{{52 + 5}} = \frac{{1362}}{{57}} \approx 23,895\] (nghìn người).
Vậy số dân của thị trấn vào năm 2022 khoảng 23 895 người.
b) 1) Sự biến thiên
• Giới hạn tại vô cực và đường tiệm cận ngang:
\[\mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } f(t) = 26\] . Do đó, đường thẳng y = 26 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
\[f'(t) = \frac{{120}}{{{{\left( {t + 5} \right)}^2}}} > 0\] với mọi t≥0.
Bảng biến thiên
Hàm số ĐB trên nửa khoảng \[\left[ {0; + \infty } \right)\]. Hàm số không có cực trị.
2) Đồ thị
• Giao điểm của đồ thị với trục tung: (0:2).
• Đồ thị hàm số đi qua điểm (1 ; 6).
Vậy đồ thị hàm số \[y = f(t) = \frac{{26t + 10}}{{t + 5}},t \ge 0\] thể hiện như hình vẽ dưới đây:
c)
c1) Tốc độ tăng dân số vào năm 2022 của thị trấn là: \[f'(52) = \frac{{120}}{{{{\left( {52 + 5} \right)}^2}}} = \frac{{40}}{{1083}}\]
c2) Ta có: \[f'(t) = 0,192 \Leftrightarrow \frac{{120}}{{{{\left( {t + 5} \right)}^2}}} = 0,192 \Leftrightarrow t = 20{\rm{ }}(do{\rm{ }}t \ge 0)\]
Vậy vào năm 1990, thì tốc độ tăng dân số là 0,192 nghìn người/năm.
Lời giải
a) Trong Hình 25, đồ thị của hàm số \[y = f(x) = \frac{1}{{10}}( - {x^3} + 9{x^2} - 15x + 56)\] cắt tia Ox tại điểm có hoành độ x = 8. Vậy đường dạo ven hồ chạy dọc theo trục Ox dài 800 m.
b) Ta khảo sát hàm số: \[y = f(x) = \frac{1}{{10}}( - {x^3} + 9{x^2} - 15x + 56)\] với 0≤ x ≤8.
f '(x) = \[\frac{1}{{10}}\] (-3x2+18x-15); f '(x)=0\[ \Leftrightarrow \]-x2+6x-5=0\[ \Leftrightarrow \]x=1 hoặc x = 5.
Bảng biến thiên:
Căn cứ bảng biến thiên, ta có: \[\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;8} \right]} \] f(x)= f(5)=8,1 tại x= 5.
Vậy khoảng cách lớn nhất theo phương thẳng đứng từ một điểm trên đường đi dạo ven hồ (chạy dọc theo trục Ox) đến bờ hồ đối diện là:
100.( \[\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;8} \right]} \] f(x))=100. f(5) = 100. 8,1 =810 (m) và đạt được tại điểm trên đường đi dạo ven hồ cách gốc O một khoảng cách là 500 m.
100.( \[\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;8} \right]} \] f(x))=100. f(5) = 100. 8,1 =810 (m) và đạt được tại điểm trên đường đi dạo ven hồ cách gốc O một khoảng cách là 500 m.
c) Xét điểm M(x ; f(x)) thuộc đồ thị hàm số \[y = f(x) = \frac{1}{{10}}( - {x^3} + 9{x^2} - 15x + 56)\] với 0 ≤ x ≤8.
Khoảng cách từ điểm M(x ; f(x)) đến đường thẳng y=−1,5x+18\[ \Leftrightarrow \]-1,5x−y+18=0 là:
\[MH = \frac{{\left| { - 1,5x - \frac{1}{{10}}( - {x^3} + 9{x^2} - 15x + 56) + 18} \right|}}{{\sqrt {{{( - 1,5)}^2} + 1} }} = \frac{{\left| {{x^3} - 9{x^2} + 124} \right|}}{{10\sqrt {3,25} }}\]
Ta khảo sát hàm số: h(x) = x3 –9x2 +124 với 0≤x≤8.
h'(x)=3x2-18x;
h'(x)=0\[ \Leftrightarrow \]x2-6x=0\[ \Leftrightarrow \]x=0 hoặc x = 6.
Bảng biến thiên:
Căn cứ bảng biến thiên, ta có: h(x) > 0 với 0≤x≤8;
\[\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;8} \right]} h(x)\]= h(6)=16 tại x= 6.
Do đó, \[\min MH = \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;8} \right]} \frac{{\left| {{x^3} - 9{x^2} + 124} \right|}}{{10\sqrt {3,25} }} = \frac{1}{{10\sqrt {3,25} }} \cdot \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;8} \right]} h(x) = \frac{{16}}{{10\sqrt {3,25} }} \approx 0,8875\] và đạt được tại x = 6. Khi đó, f(6) = 7,4.
Vậy trong mặt phẳng toạ độ Oxy ở Hình vẽ ban đầu, điểm để xây bến thuyền có toạ độ là M(6 ; 7,4).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập