Một bể chứa ban đầu có 200 lít nước. Sau đó, cứ mỗi phút người ta bơm thêm 40 lít nước, đồng thời cho vào bể 20 gam chất khử trùng (hoà tan).
a) Tính thể tích nước và khối lượng chất khử trùng có trong bể sau t phút. Từ đó tính nồng độ chất khử trùng (gam/lít) trong bể sau t phút.
b) Coi nồng độ chất khử trùng là hàm số f(t) với t ≥ 0. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số này.
c) Hãy giải thích tại sao nồng độ chất khử trùng tăng theo t nhưng không vượt ngưỡng 0,5 gam/lít.
Một bể chứa ban đầu có 200 lít nước. Sau đó, cứ mỗi phút người ta bơm thêm 40 lít nước, đồng thời cho vào bể 20 gam chất khử trùng (hoà tan).
a) Tính thể tích nước và khối lượng chất khử trùng có trong bể sau t phút. Từ đó tính nồng độ chất khử trùng (gam/lít) trong bể sau t phút.
b) Coi nồng độ chất khử trùng là hàm số f(t) với t ≥ 0. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số này.
c) Hãy giải thích tại sao nồng độ chất khử trùng tăng theo t nhưng không vượt ngưỡng 0,5 gam/lít.
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) Thể tích nước có trong bế sau \(t\) phút là: \(V(t) = 200 + 40t\) (lít).
Khối lượng chất khử trùng có trong bế sau t phút là: \({\rm{M}}({\rm{t}}) = 20{\rm{t}}({\rm{gam}})\).
Nồng độ chất khử trùng trong bế sau t phút là: \(\frac{{20t}}{{200 + 40t}}\) (gam/lit).
b) \(y = f(t) = \frac{{20t}}{{200 + 40t}}(t \ge 0)\).
Tập xác định của hàm số là \({\rm{D}} = [0; + \infty )\).
Sự biến thiên:
Ta có \({y^\prime } = \frac{{20(200 + 40t) - 20t \cdot 40}}{{{{(200 + 40t)}^2}}} = \frac{{4000}}{{{{(200 + 40t)}^2}}} > 0\) với mọi \({\rm{t}} \in {\rm{D}}\).
Hàm số luôn đồng biến trên \({\rm{D}}\).
Hàm số không có cực trị.
Tiệm cận:
\(\mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } \frac{{20t}}{{200 + 40t}} = \frac{1}{2}\). Do đó \(y = \frac{1}{2}\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số (phần bên phải trục Oy).
\(\mathop {\lim }\limits_{t \to {0^ + }} \frac{{20t}}{{200 + 40t}} = 0\)
Bảng biến thiên
Đồ thị.
Hàm số đi qua điểm \((0;0);\left( {1;\frac{1}{{12}}} \right);\left( {2;\frac{1}{7}} \right)\).
c) Vì \({y^\prime } = \frac{{4000}}{{{{(200 + 40t)}^2}}} > 0,\forall t \ge 0\) và lim \(_{t \to + \infty }\frac{{20t}}{{200 + 40t}} = \frac{1}{2}\) nên nồng độ chất khử trùng tăng theo \(y\) nhưng không vượt ngường \(0,5{\rm{gam}}/\) lít.
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 1 file word cấu trúc mới 2025 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
a) Ta có: \[f(52) = \frac{{26.52 + 10}}{{52 + 5}} = \frac{{1362}}{{57}} \approx 23,895\] (nghìn người).
Vậy số dân của thị trấn vào năm 2022 khoảng 23 895 người.
b) 1) Sự biến thiên
• Giới hạn tại vô cực và đường tiệm cận ngang:
\[\mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } f(t) = 26\] . Do đó, đường thẳng y = 26 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
\[f'(t) = \frac{{120}}{{{{\left( {t + 5} \right)}^2}}} > 0\] với mọi t≥0.
Bảng biến thiên
Hàm số ĐB trên nửa khoảng \[\left[ {0; + \infty } \right)\]. Hàm số không có cực trị.
2) Đồ thị
• Giao điểm của đồ thị với trục tung: (0:2).
• Đồ thị hàm số đi qua điểm (1 ; 6).
Vậy đồ thị hàm số \[y = f(t) = \frac{{26t + 10}}{{t + 5}},t \ge 0\] thể hiện như hình vẽ dưới đây:
c)
c1) Tốc độ tăng dân số vào năm 2022 của thị trấn là: \[f'(52) = \frac{{120}}{{{{\left( {52 + 5} \right)}^2}}} = \frac{{40}}{{1083}}\]
c2) Ta có: \[f'(t) = 0,192 \Leftrightarrow \frac{{120}}{{{{\left( {t + 5} \right)}^2}}} = 0,192 \Leftrightarrow t = 20{\rm{ }}(do{\rm{ }}t \ge 0)\]
Vậy vào năm 1990, thì tốc độ tăng dân số là 0,192 nghìn người/năm.
Lời giải
a) Trong Hình 25, đồ thị của hàm số \[y = f(x) = \frac{1}{{10}}( - {x^3} + 9{x^2} - 15x + 56)\] cắt tia Ox tại điểm có hoành độ x = 8. Vậy đường dạo ven hồ chạy dọc theo trục Ox dài 800 m.
b) Ta khảo sát hàm số: \[y = f(x) = \frac{1}{{10}}( - {x^3} + 9{x^2} - 15x + 56)\] với 0≤ x ≤8.
f '(x) = \[\frac{1}{{10}}\] (-3x2+18x-15); f '(x)=0\[ \Leftrightarrow \]-x2+6x-5=0\[ \Leftrightarrow \]x=1 hoặc x = 5.
Bảng biến thiên:
Căn cứ bảng biến thiên, ta có: \[\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;8} \right]} \] f(x)= f(5)=8,1 tại x= 5.
Vậy khoảng cách lớn nhất theo phương thẳng đứng từ một điểm trên đường đi dạo ven hồ (chạy dọc theo trục Ox) đến bờ hồ đối diện là:
100.( \[\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;8} \right]} \] f(x))=100. f(5) = 100. 8,1 =810 (m) và đạt được tại điểm trên đường đi dạo ven hồ cách gốc O một khoảng cách là 500 m.
100.( \[\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;8} \right]} \] f(x))=100. f(5) = 100. 8,1 =810 (m) và đạt được tại điểm trên đường đi dạo ven hồ cách gốc O một khoảng cách là 500 m.
c) Xét điểm M(x ; f(x)) thuộc đồ thị hàm số \[y = f(x) = \frac{1}{{10}}( - {x^3} + 9{x^2} - 15x + 56)\] với 0 ≤ x ≤8.
Khoảng cách từ điểm M(x ; f(x)) đến đường thẳng y=−1,5x+18\[ \Leftrightarrow \]-1,5x−y+18=0 là:
\[MH = \frac{{\left| { - 1,5x - \frac{1}{{10}}( - {x^3} + 9{x^2} - 15x + 56) + 18} \right|}}{{\sqrt {{{( - 1,5)}^2} + 1} }} = \frac{{\left| {{x^3} - 9{x^2} + 124} \right|}}{{10\sqrt {3,25} }}\]
Ta khảo sát hàm số: h(x) = x3 –9x2 +124 với 0≤x≤8.
h'(x)=3x2-18x;
h'(x)=0\[ \Leftrightarrow \]x2-6x=0\[ \Leftrightarrow \]x=0 hoặc x = 6.
Bảng biến thiên:
Căn cứ bảng biến thiên, ta có: h(x) > 0 với 0≤x≤8;
\[\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;8} \right]} h(x)\]= h(6)=16 tại x= 6.
Do đó, \[\min MH = \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;8} \right]} \frac{{\left| {{x^3} - 9{x^2} + 124} \right|}}{{10\sqrt {3,25} }} = \frac{1}{{10\sqrt {3,25} }} \cdot \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;8} \right]} h(x) = \frac{{16}}{{10\sqrt {3,25} }} \approx 0,8875\] và đạt được tại x = 6. Khi đó, f(6) = 7,4.
Vậy trong mặt phẳng toạ độ Oxy ở Hình vẽ ban đầu, điểm để xây bến thuyền có toạ độ là M(6 ; 7,4).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập