Câu hỏi:

19/08/2025 181 Lưu

Một cốc chứa 30 ml dung dịch KOH (potassium hydroxide) với nồng độ 100 mg/ml. Một bình chứa dung dịch KOH khác với nồng độ 8 mg/ml được trộn vào cốc.

a) Tính nồng độ KOH trong cốc sau khi trộn x (ml) từ bình chứa, kí hiệu là C(x).

b) Coi C(x) là hàm số xác định với x ≥ 0. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số này.

c) Giải thích tại sao nồng độ KOH trong cốc giảm theo x nhưng luôn lớn hơn 8 mg/ml.

Quảng cáo

Trả lời:

verified Giải bởi Vietjack

a) Tống khối lượng \({\rm{KOH}}\) sau khi trộn là: \(30.100 + 8.{\rm{x}} = 3000 + 8{\rm{x}}({\rm{mg}})\).

Tống thế tích dung dịch sau khi trộn là: \(30 + {\rm{x}}({\rm{ml}})\).

Nồng độ \({\rm{KOH}}\) trong cốc sau khi trộn là \(C(x) = \frac{{3000 + 8x}}{{30 + x}}({\rm{mg}}/{\rm{ml}})\).

b) \(C(x) = \frac{{3000 + 8x}}{{30 + x}},x \ge 0\)

Tập xác định của hàm số là \(D = [0; + \infty )\).

Sự biến thiên

Có \({C^\prime }(x) = \frac{{8(30 + x) - (3000 + 8x)}}{{{{(30 + x)}^2}}} = \frac{{ - 2760}}{{{{(30 + x)}^2}}} < 0\) với mọi \({x^3}0\).

Hàm số luôn nghịch biến trên \([0; + \infty )\).

Hàm số không có cực trị.

Tiệm cận

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } C(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{3000 + 8x}}{{30 + x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{\frac{{3000}}{x} + 8}}{{\frac{{30}}{x} + 1}} = 8\)

Do đó \(y = 8\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số (phần bên phải trục \({\rm{Oy}}\) ).

Bảng biến thiên

Một cốc chứa 30 ml dung dịch KOH (potassium hydroxide) với nồng độ 100 mg/ml. Một bình chứa dung dịch KOH khác với nồng độ 8 mg/ml được trộn vào cốc (ảnh 1)

Đồ thị

Hàm số giao với trục \({\rm{Oy}}\) tại điểm \((0;100)\).

Hàm số đi qua điếm \(\left( {120;\frac{{132}}{5}} \right);(200;20)\).

Một cốc chứa 30 ml dung dịch KOH (potassium hydroxide) với nồng độ 100 mg/ml. Một bình chứa dung dịch KOH khác với nồng độ 8 mg/ml được trộn vào cốc (ảnh 2)

c) Vì \({C^\prime }(x) = \frac{{ - 2760}}{{{{(30 + x)}^2}}} < 0,\forall x \ge 0\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } C(x) = 8\) nên nồng độ \({\rm{KOH}}\) trong cốc giảm theo \(x\) nhưng luôn lớn hơn \(8{\rm{mg}}/{\rm{ml}}\).

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

a) Ta có: \[f(52) = \frac{{26.52 + 10}}{{52 + 5}} = \frac{{1362}}{{57}} \approx 23,895\] (nghìn người).
Vậy số dân của thị trấn vào năm 2022 khoảng 23 895 người.
b) 1) Sự biến thiên
• Giới hạn tại vô cực và đường tiệm cận ngang:
\[\mathop {\lim }\limits_{t \to  + \infty } f(t) = 26\] . Do đó, đường thẳng y = 26 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
\[f'(t) = \frac{{120}}{{{{\left( {t + 5} \right)}^2}}} > 0\] với mọi t≥0.
Bảng biến thiên
Media VietJack
Hàm số ĐB trên nửa khoảng \[\left[ {0; + \infty } \right)\]. Hàm số không có cực trị.

2) Đồ thị

• Giao điểm của đồ thị với trục tung: (0:2).

• Đồ thị hàm số đi qua điểm (1 ; 6).

Vậy đồ thị hàm số \[y = f(t) = \frac{{26t + 10}}{{t + 5}},t \ge 0\] thể hiện như hình vẽ dưới đây:
Số dân của một thị trấn sau t năm kể từ năm 1970 được ước tính bởi công thức: f(t)=26t+10/t+5 (ảnh 1)
c)
c1) Tốc độ tăng dân số vào năm 2022 của thị trấn là: \[f'(52) = \frac{{120}}{{{{\left( {52 + 5} \right)}^2}}} = \frac{{40}}{{1083}}\]
c2)  Ta có: \[f'(t) = 0,192 \Leftrightarrow \frac{{120}}{{{{\left( {t + 5} \right)}^2}}} = 0,192 \Leftrightarrow t = 20{\rm{ }}(do{\rm{ }}t \ge 0)\]
Vậy vào năm 1990, thì tốc độ tăng dân số là 0,192 nghìn người/năm.

Lời giải

a) Theo ý nghĩa cơ học của đạo hàm, vận tốc của vật là v = h’(t)=24,5 – 9,8t (m/s).

Do đó, vận tốc của vật sau 2 giây là v(2) =24,5–9,8.2=4,9 (m/s).
b) Vì h(t) là hàm số bậc hai có hệ số a = –4,9 < 0 nên h(t) đạt giá trị lớn nhất tại \[t =  - \frac{b}{{2a}} = \frac{{24,5}}{{2.4,9}} = 2,5\] (giây). Khi đó, độ cao lớn nhất của vật là h(2,5) = 32,625 (m).
c) Vật chạm đất khi độ cao bằng 0, tức là h=2+24,5t – 4,9t2 =0, hay t \[ \approx \] 5,08 (giây).
Vận tốc của vật lúc chạm đất là v(5,08)=24,5 – 9,8.5,08 = -25,284 (m/s).
Vận tốc âm chứng tỏ chiều chuyển động của vật là ngược chiều dương (hướng lên trên) của trục đã chọn (khi lập phương trình chuyển động của vật).