Câu hỏi:

06/08/2025 16 Lưu

(Bài toán thiết kế mô hình đường giao thông) Để thiết kế mô hình của một đoạn đường cao tốc nối hai sườn đồi với sự khác biệt về độ cao ở vị trí hai sườn đồi giao nhau là 50 feet (Hình vẽ), người ta có thể làm như sau:

• Chọn hệ trục toạ độ Oxy với gốc O là vị trí hai sườn đồi giao nhau, phương nằm ngang là trục Ox, đơn vị trên mỗi trục toạ độ là feet (1 feet = 0,3048 m).

• Chọn hai vị trí A, B lần lượt trên hai sườn đồi. Bằng cách đo đạc tại thực địa, ta xác định được toạ độ của hai điểm A, B và góc dốc a (đơn vị: độ) tại điểm B của sườn đồi. Giả sử ta có A(− 1 000 ; 60), B(1 000 ; 90) và tan\[\alpha \] = 0,04 (Hình 27) (Nguồn: R. Larson and B. Edwards, Calculus 10e, Cengage 2014).

• Trong hệ trục toạ độ Oxy, quan sát đường cong (vẽ bằng nét đứt) mô phỏng đoạn đường cao tốc nối hai sườn đồi, đường cong đó gợi nên hình ảnh đồ thị của hàm số bậc ba. Vì thế ta có thể chọn hàm số bậc ba y = f(x) = ax3 + bx2 + cx+d (a ≠ 0) sao cho trong hệ trục toạ độ Oxy, đồ thị của hàm số đó trên đoạn

[− 1 000 ; 1 000] mô phỏng đoạn đường cao tốc cần thiết kế. Ta chọn theo nguyên tắc: Hệ số góc của tiếp tuyến tại B của đồ thị hàm số đó bằng 0,04.

(Bài toán thiết kế mô hình đường giao thông) Để thiết kế mô hình của một đoạn đường cao tốc nối hai sườn đồi (ảnh 1)

a) Hãy xác định hàm số bậc ba đó.

b) Góc dốc của con đường trên đoạn \[\left[ { - 1000;1000} \right]\] lớn nhất tại điểm nào?

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

a) Do đồ thị hàm số bậc ba y = f(x) = ax3 + bx2 + cx+d (a ≠ 0) đi qua điểm (0 ; 50) nên d = 50,

suy ra: y = f(x) = ax3 + bx2 + cx + 50.

Do đồ thị đi qua các điểm A(− 1 000 ; 60), B(1000 ; 90) nên ta có: \[\left\{ \begin{array}{l} - 1{\rm{ }}000{\rm{ }}000{\rm{ }}000a{\rm{ }} + 1{\rm{ }}000{\rm{ }}000b - 1{\rm{ }}000c{\rm{ }} = {\rm{ }}10\\1{\rm{ }}000{\rm{ }}000{\rm{ }}000a{\rm{ }} + 1{\rm{ }}000{\rm{ }}000b + 1{\rm{ }}000c{\rm{ }} = {\rm{ }}40\end{array} \right.\]
Hay \[\left\{ \begin{array}{l} - 1{\rm{ }}00{\rm{ }}000{\rm{ 0}}00a{\rm{ }} + 100{\rm{ }}000b - 100c{\rm{ }} = {\rm{ }}1\\1{\rm{ }}00{\rm{ }}000{\rm{ 0}}00a{\rm{ }} + 100{\rm{ }}000b + 100c{\rm{ }} = {\rm{ }}4\end{array} \right.\] , suy ra \[\left\{ \begin{array}{l}b = \frac{1}{{40000}}\\100{\rm{ }}000{\rm{ }}000a + 100c = 1,5\end{array} \right.\]
Ta có: \[f'(x) = 3a{x^2} + 2bx + c = 3a{x^2} + \frac{1}{{20{\rm{ }}000}}x + c\]
Do hệ số góc của tiếp tuyến tại B của đồ thị hàm số đó bằng 0,04 nên
\[f'(1000) = 3000{\rm{ }}000a + \frac{1}{{20}} + c = 0,04\] tức là \[3000{\rm{ }}000a + c =  - 0,01\].
Ta có hệ phương trình sau:
\[\left\{ \begin{array}{l}100{\rm{ }}000{\rm{ }}000a + 100c = 1,5\\3{\rm{ }}000\;000a + c =  - 0,01\end{array} \right.\] suy ra \[\left\{ \begin{array}{l}a =  - \frac{1}{{80{\rm{ }}000{\rm{ }}000}}\\c = \frac{{11}}{{400}}\end{array} \right.\]
Vậy hàm số bậc ba cần tìm là; \[f(x) =  - \frac{1}{{80{\rm{ }}000{\rm{ }}000}}{x^3} + \frac{1}{{40{\rm{ }}000}}{x^2} + \frac{{11}}{{400}}x + 50\]

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

a) Khi bán x mét vải lụa:
Số tiền thu được là: B (x) = 220x (nghìn đồng).
Lợi nhuận thu được là: L (x) = B (x) – C (x) = –x3 + 3x2 + 240x – 500 (nghìn đồng).
b) Hàm số L (x) xác định trên [1; 18].
– Sự biến thiên:
+ Chiều biến thiên:

Đạo hàm L '(x) = –3x2 + 6x + 240; L '(x) = 0 ⇔ x = 10 hoặc x = –8 (loại).

Trên khoảng (1; 10), L '(x) > 0 nên hàm số đồng biến trên khoảng này.
Trên khoảng (10; 18), L '(x) < 0 nên hàm số nghịch biến trên khoảng này.
+ Cực trị: Hàm số L(x) đạt cực đại tại x = 10 và LCĐ = L(10) = 1 200.
+ Bảng biến thiên:
Media VietJack
– Đồ thị:
Đồ thị hàm số có điểm cực đại (10; 1 200) và đi qua các điểm (1; –258), (18; –1 040) như Hình 8.
Media VietJack
c) Quan sát đồ thị hàm số, ta nhận thấy khi x = 10 thì hàm số đạt giá trị lớn nhất là 1 200.
Như vậy, hộ làm nghề dệt cần sản xuất và bán ra mỗi ngày 10 mét vải lụa để thu được lợi nhuận tối đa. Lợi nhuận tối đa này là 1 200 nghìn đồng.

Lời giải

Ta có: \[P'(t) = \frac{{0,75a{e^{ - 0,75t}}}}{{{{\left( {b + {e^{ - 0,75t}}} \right)}^2}}},t \ge 0\]
Theo đề bài, ta có: P(0) = 20 và P’(0) = 12. Do đó, ta có hệ phương trình: \[\left\{ \begin{array}{l}\frac{a}{{b + 1}} = 20\\\frac{{0,75a}}{{{{\left( {b + 1} \right)}^2}}} = 12\end{array} \right.\]
Giải hệ phương trình này, ta được a = 25 và b = \[\frac{1}{4}\]
Khi đó, \[P'(t) = \frac{{18,75{e^{ - 0,75t}}}}{{{{\left( {\frac{1}{4} + {e^{ - 0,75t}}} \right)}^2}}} > 0,\forall t \ge 0\], tức là số lượng quần thể nấm men luôn tăng.
Tuy nhiên, do \[\mathop {\lim }\limits_{t \to  + \infty } P(t) = \mathop {\lim }\limits_{t \to  + \infty } \frac{{25}}{{\frac{1}{4} + {e^{ - 0,75t}}}} = 100\] nên số lượng quần thể nấm men tăng nhưng không vượt quá 100 tế bào.

Câu 7

(Bài toán thiết kế mô hình đánh giá kĩ năng) Một trung tâm dạy nghề cần thiết kế mô hình đánh giá kĩ năng của một học viên theo học nghề đánh máy. Người ta có thể làm như sau:

• Để xây dựng mô hình toán học cho bài toán trên, ta sử dụng thống kê. Bằng cách khảo sát tốc độ đánh máy trung bình S (tính bằng từ trên phút) của học viên đó sau 1 tuần học (5 ≤ t ≤ 30), ta thu thập các số liệu thống kê được cho trong Bảng 1 (Nguồn: R. Larson and B. Edwards, Calculus 10e, Cengage 2014).

(Bài toán thiết kế mô hình đánh giá kĩ năng) Một trung tâm dạy nghề cần thiết kế mô hình đánh giá kĩ năng của một học viên theo học nghề đánh máy (ảnh 1)

• Ta cần chọn hàm số y = f (t) để biểu diễn các số liệu ở Bảng 1, tức là ở hệ trục toạ độ Oxy, đồ thị của hàm số đó trên khoảng (0 ; + \[\infty \]) “gần” với các điểm A(5 ; 38), B(10 ; 56), C(15 ; 79), D(20 ; 90), E(25 ; 93), G(30 ; 94). Ngoài ra, do tốc độ đánh máy trung bình của học viên tăng theo thời gian t và chỉ đến một giới hạn M nào đó cho dù thời gian t có kéo dài đến vô cùng nên hàm số y = f (t) phải thỏa mãn thêm hai điều kiện: Hàm số đó ĐB trên khoảng (0 ; + \[\infty \]) và \[\mathop {\lim }\limits_{t \to  + \infty } f(t) = M \in \mathbb{R},M > 94\]. Vì các hàm đa thức (với bậc lớn hơn hoặc bằng 1) không thỏa mãn hai điều kiện đó nên ta chọn một hàm phân thức hữu tỉ để biểu diễn các số liệu ở Bảng 1.

Ta có thể chọn hàm số có dạng \[f(t) = \frac{{at + b}}{{ct + d}}\]  (ac ≠ 0) cho mục đích đó. Dựa vào Bảng 1, ta chọn hàm số:

\[f(t) = \frac{{110t - 280}}{{t + 2}},(t > 0)\]

a) Dựa theo mô hình đó, dự đoán tốc độ đánh máy trung bình của học viên đó sau 40 tuần (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của từ/phút)

b) Xem y = f(t) là một hàm số xác định trên khoảng (0 ; + \[\infty \]), hãy tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đó.

c) Nêu nhận xét về tốc độ đánh máy trung bình của học viên đó sau thời gian t ngày càng lớn.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP