(Bài toán thiết kế mô hình đường giao thông) Để thiết kế mô hình của một đoạn đường cao tốc nối hai sườn đồi với sự khác biệt về độ cao ở vị trí hai sườn đồi giao nhau là 50 feet (Hình vẽ), người ta có thể làm như sau:
• Chọn hệ trục toạ độ Oxy với gốc O là vị trí hai sườn đồi giao nhau, phương nằm ngang là trục Ox, đơn vị trên mỗi trục toạ độ là feet (1 feet = 0,3048 m).
• Chọn hai vị trí A, B lần lượt trên hai sườn đồi. Bằng cách đo đạc tại thực địa, ta xác định được toạ độ của hai điểm A, B và góc dốc a (đơn vị: độ) tại điểm B của sườn đồi. Giả sử ta có A(− 1 000 ; 60), B(1 000 ; 90) và tan\[\alpha \] = 0,04 (Hình 27) (Nguồn: R. Larson and B. Edwards, Calculus 10e, Cengage 2014).
• Trong hệ trục toạ độ Oxy, quan sát đường cong (vẽ bằng nét đứt) mô phỏng đoạn đường cao tốc nối hai sườn đồi, đường cong đó gợi nên hình ảnh đồ thị của hàm số bậc ba. Vì thế ta có thể chọn hàm số bậc ba y = f(x) = ax3 + bx2 + cx+d (a ≠ 0) sao cho trong hệ trục toạ độ Oxy, đồ thị của hàm số đó trên đoạn
[− 1 000 ; 1 000] mô phỏng đoạn đường cao tốc cần thiết kế. Ta chọn theo nguyên tắc: Hệ số góc của tiếp tuyến tại B của đồ thị hàm số đó bằng 0,04.
a) Hãy xác định hàm số bậc ba đó.
b) Góc dốc của con đường trên đoạn \[\left[ { - 1000;1000} \right]\] lớn nhất tại điểm nào?
(Bài toán thiết kế mô hình đường giao thông) Để thiết kế mô hình của một đoạn đường cao tốc nối hai sườn đồi với sự khác biệt về độ cao ở vị trí hai sườn đồi giao nhau là 50 feet (Hình vẽ), người ta có thể làm như sau:
• Chọn hệ trục toạ độ Oxy với gốc O là vị trí hai sườn đồi giao nhau, phương nằm ngang là trục Ox, đơn vị trên mỗi trục toạ độ là feet (1 feet = 0,3048 m).
• Chọn hai vị trí A, B lần lượt trên hai sườn đồi. Bằng cách đo đạc tại thực địa, ta xác định được toạ độ của hai điểm A, B và góc dốc a (đơn vị: độ) tại điểm B của sườn đồi. Giả sử ta có A(− 1 000 ; 60), B(1 000 ; 90) và tan\[\alpha \] = 0,04 (Hình 27) (Nguồn: R. Larson and B. Edwards, Calculus 10e, Cengage 2014).
• Trong hệ trục toạ độ Oxy, quan sát đường cong (vẽ bằng nét đứt) mô phỏng đoạn đường cao tốc nối hai sườn đồi, đường cong đó gợi nên hình ảnh đồ thị của hàm số bậc ba. Vì thế ta có thể chọn hàm số bậc ba y = f(x) = ax3 + bx2 + cx+d (a ≠ 0) sao cho trong hệ trục toạ độ Oxy, đồ thị của hàm số đó trên đoạn
[− 1 000 ; 1 000] mô phỏng đoạn đường cao tốc cần thiết kế. Ta chọn theo nguyên tắc: Hệ số góc của tiếp tuyến tại B của đồ thị hàm số đó bằng 0,04.
a) Hãy xác định hàm số bậc ba đó.
b) Góc dốc của con đường trên đoạn \[\left[ { - 1000;1000} \right]\] lớn nhất tại điểm nào?
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) Do đồ thị hàm số bậc ba y = f(x) = ax3 + bx2 + cx+d (a ≠ 0) đi qua điểm (0 ; 50) nên d = 50,
suy ra: y = f(x) = ax3 + bx2 + cx + 50.
Do đồ thị đi qua các điểm A(− 1 000 ; 60), B(1000 ; 90) nên ta có: \[\left\{ \begin{array}{l} - 1{\rm{ }}000{\rm{ }}000{\rm{ }}000a{\rm{ }} + 1{\rm{ }}000{\rm{ }}000b - 1{\rm{ }}000c{\rm{ }} = {\rm{ }}10\\1{\rm{ }}000{\rm{ }}000{\rm{ }}000a{\rm{ }} + 1{\rm{ }}000{\rm{ }}000b + 1{\rm{ }}000c{\rm{ }} = {\rm{ }}40\end{array} \right.\]
Hay \[\left\{ \begin{array}{l} - 1{\rm{ }}00{\rm{ }}000{\rm{ 0}}00a{\rm{ }} + 100{\rm{ }}000b - 100c{\rm{ }} = {\rm{ }}1\\1{\rm{ }}00{\rm{ }}000{\rm{ 0}}00a{\rm{ }} + 100{\rm{ }}000b + 100c{\rm{ }} = {\rm{ }}4\end{array} \right.\] , suy ra \[\left\{ \begin{array}{l}b = \frac{1}{{40000}}\\100{\rm{ }}000{\rm{ }}000a + 100c = 1,5\end{array} \right.\]
Ta có: \[f'(x) = 3a{x^2} + 2bx + c = 3a{x^2} + \frac{1}{{20{\rm{ }}000}}x + c\]
Do hệ số góc của tiếp tuyến tại B của đồ thị hàm số đó bằng 0,04 nên
\[f'(1000) = 3000{\rm{ }}000a + \frac{1}{{20}} + c = 0,04\] tức là \[3000{\rm{ }}000a + c = - 0,01\].
Ta có hệ phương trình sau:
\[\left\{ \begin{array}{l}100{\rm{ }}000{\rm{ }}000a + 100c = 1,5\\3{\rm{ }}000\;000a + c = - 0,01\end{array} \right.\] suy ra \[\left\{ \begin{array}{l}a = - \frac{1}{{80{\rm{ }}000{\rm{ }}000}}\\c = \frac{{11}}{{400}}\end{array} \right.\]
Vậy hàm số bậc ba cần tìm là; \[f(x) = - \frac{1}{{80{\rm{ }}000{\rm{ }}000}}{x^3} + \frac{1}{{40{\rm{ }}000}}{x^2} + \frac{{11}}{{400}}x + 50\]
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 1 file word cấu trúc mới 2025 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
- 250+ Công thức giải nhanh môn Toán 12 (chương trình mới) ( 18.000₫ )
- 20 Bộ đề, Tổng ôn, sổ tay môn Toán (có đáp án chi tiết) ( 55.000₫ )
- Sổ tay lớp 12 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa, KTPL (chương trình mới) ( 36.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội, TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) ( 150.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
a) Ta có: \[f(52) = \frac{{26.52 + 10}}{{52 + 5}} = \frac{{1362}}{{57}} \approx 23,895\] (nghìn người).
Vậy số dân của thị trấn vào năm 2022 khoảng 23 895 người.
b) 1) Sự biến thiên
• Giới hạn tại vô cực và đường tiệm cận ngang:
\[\mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } f(t) = 26\] . Do đó, đường thẳng y = 26 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
\[f'(t) = \frac{{120}}{{{{\left( {t + 5} \right)}^2}}} > 0\] với mọi t≥0.
Bảng biến thiên
Hàm số ĐB trên nửa khoảng \[\left[ {0; + \infty } \right)\]. Hàm số không có cực trị.
2) Đồ thị
• Giao điểm của đồ thị với trục tung: (0:2).
• Đồ thị hàm số đi qua điểm (1 ; 6).
Vậy đồ thị hàm số \[y = f(t) = \frac{{26t + 10}}{{t + 5}},t \ge 0\] thể hiện như hình vẽ dưới đây:
c)
c1) Tốc độ tăng dân số vào năm 2022 của thị trấn là: \[f'(52) = \frac{{120}}{{{{\left( {52 + 5} \right)}^2}}} = \frac{{40}}{{1083}}\]
c2) Ta có: \[f'(t) = 0,192 \Leftrightarrow \frac{{120}}{{{{\left( {t + 5} \right)}^2}}} = 0,192 \Leftrightarrow t = 20{\rm{ }}(do{\rm{ }}t \ge 0)\]
Vậy vào năm 1990, thì tốc độ tăng dân số là 0,192 nghìn người/năm.
Lời giải
a) Trong Hình 25, đồ thị của hàm số \[y = f(x) = \frac{1}{{10}}( - {x^3} + 9{x^2} - 15x + 56)\] cắt tia Ox tại điểm có hoành độ x = 8. Vậy đường dạo ven hồ chạy dọc theo trục Ox dài 800 m.
b) Ta khảo sát hàm số: \[y = f(x) = \frac{1}{{10}}( - {x^3} + 9{x^2} - 15x + 56)\] với 0≤ x ≤8.
f '(x) = \[\frac{1}{{10}}\] (-3x2+18x-15); f '(x)=0\[ \Leftrightarrow \]-x2+6x-5=0\[ \Leftrightarrow \]x=1 hoặc x = 5.
Bảng biến thiên:
Căn cứ bảng biến thiên, ta có: \[\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;8} \right]} \] f(x)= f(5)=8,1 tại x= 5.
Vậy khoảng cách lớn nhất theo phương thẳng đứng từ một điểm trên đường đi dạo ven hồ (chạy dọc theo trục Ox) đến bờ hồ đối diện là:
100.( \[\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;8} \right]} \] f(x))=100. f(5) = 100. 8,1 =810 (m) và đạt được tại điểm trên đường đi dạo ven hồ cách gốc O một khoảng cách là 500 m.
100.( \[\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;8} \right]} \] f(x))=100. f(5) = 100. 8,1 =810 (m) và đạt được tại điểm trên đường đi dạo ven hồ cách gốc O một khoảng cách là 500 m.
c) Xét điểm M(x ; f(x)) thuộc đồ thị hàm số \[y = f(x) = \frac{1}{{10}}( - {x^3} + 9{x^2} - 15x + 56)\] với 0 ≤ x ≤8.
Khoảng cách từ điểm M(x ; f(x)) đến đường thẳng y=−1,5x+18\[ \Leftrightarrow \]-1,5x−y+18=0 là:
\[MH = \frac{{\left| { - 1,5x - \frac{1}{{10}}( - {x^3} + 9{x^2} - 15x + 56) + 18} \right|}}{{\sqrt {{{( - 1,5)}^2} + 1} }} = \frac{{\left| {{x^3} - 9{x^2} + 124} \right|}}{{10\sqrt {3,25} }}\]
Ta khảo sát hàm số: h(x) = x3 –9x2 +124 với 0≤x≤8.
h'(x)=3x2-18x;
h'(x)=0\[ \Leftrightarrow \]x2-6x=0\[ \Leftrightarrow \]x=0 hoặc x = 6.
Bảng biến thiên:
Căn cứ bảng biến thiên, ta có: h(x) > 0 với 0≤x≤8;
\[\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;8} \right]} h(x)\]= h(6)=16 tại x= 6.
Do đó, \[\min MH = \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;8} \right]} \frac{{\left| {{x^3} - 9{x^2} + 124} \right|}}{{10\sqrt {3,25} }} = \frac{1}{{10\sqrt {3,25} }} \cdot \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;8} \right]} h(x) = \frac{{16}}{{10\sqrt {3,25} }} \approx 0,8875\] và đạt được tại x = 6. Khi đó, f(6) = 7,4.
Vậy trong mặt phẳng toạ độ Oxy ở Hình vẽ ban đầu, điểm để xây bến thuyền có toạ độ là M(6 ; 7,4).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập