Câu hỏi:

19/08/2025 512 Lưu

(Bài toán thiết kế mô hình đường giao thông) Để thiết kế mô hình của một đoạn đường cao tốc nối hai sườn đồi với sự khác biệt về độ cao ở vị trí hai sườn đồi giao nhau là 50 feet (Hình vẽ), người ta có thể làm như sau:

• Chọn hệ trục toạ độ Oxy với gốc O là vị trí hai sườn đồi giao nhau, phương nằm ngang là trục Ox, đơn vị trên mỗi trục toạ độ là feet (1 feet = 0,3048 m).

• Chọn hai vị trí A, B lần lượt trên hai sườn đồi. Bằng cách đo đạc tại thực địa, ta xác định được toạ độ của hai điểm A, B và góc dốc a (đơn vị: độ) tại điểm B của sườn đồi. Giả sử ta có A(− 1 000 ; 60), B(1 000 ; 90) và tan\[\alpha \] = 0,04 (Hình 27) (Nguồn: R. Larson and B. Edwards, Calculus 10e, Cengage 2014).

• Trong hệ trục toạ độ Oxy, quan sát đường cong (vẽ bằng nét đứt) mô phỏng đoạn đường cao tốc nối hai sườn đồi, đường cong đó gợi nên hình ảnh đồ thị của hàm số bậc ba. Vì thế ta có thể chọn hàm số bậc ba y = f(x) = ax3 + bx2 + cx+d (a ≠ 0) sao cho trong hệ trục toạ độ Oxy, đồ thị của hàm số đó trên đoạn

[− 1 000 ; 1 000] mô phỏng đoạn đường cao tốc cần thiết kế. Ta chọn theo nguyên tắc: Hệ số góc của tiếp tuyến tại B của đồ thị hàm số đó bằng 0,04.

(Bài toán thiết kế mô hình đường giao thông) Để thiết kế mô hình của một đoạn đường cao tốc nối hai sườn đồi (ảnh 1)

a) Hãy xác định hàm số bậc ba đó.

b) Góc dốc của con đường trên đoạn \[\left[ { - 1000;1000} \right]\] lớn nhất tại điểm nào?

Quảng cáo

Trả lời:

verified Giải bởi Vietjack

a) Do đồ thị hàm số bậc ba y = f(x) = ax3 + bx2 + cx+d (a ≠ 0) đi qua điểm (0 ; 50) nên d = 50,

suy ra: y = f(x) = ax3 + bx2 + cx + 50.

Do đồ thị đi qua các điểm A(− 1 000 ; 60), B(1000 ; 90) nên ta có: \[\left\{ \begin{array}{l} - 1{\rm{ }}000{\rm{ }}000{\rm{ }}000a{\rm{ }} + 1{\rm{ }}000{\rm{ }}000b - 1{\rm{ }}000c{\rm{ }} = {\rm{ }}10\\1{\rm{ }}000{\rm{ }}000{\rm{ }}000a{\rm{ }} + 1{\rm{ }}000{\rm{ }}000b + 1{\rm{ }}000c{\rm{ }} = {\rm{ }}40\end{array} \right.\]
Hay \[\left\{ \begin{array}{l} - 1{\rm{ }}00{\rm{ }}000{\rm{ 0}}00a{\rm{ }} + 100{\rm{ }}000b - 100c{\rm{ }} = {\rm{ }}1\\1{\rm{ }}00{\rm{ }}000{\rm{ 0}}00a{\rm{ }} + 100{\rm{ }}000b + 100c{\rm{ }} = {\rm{ }}4\end{array} \right.\] , suy ra \[\left\{ \begin{array}{l}b = \frac{1}{{40000}}\\100{\rm{ }}000{\rm{ }}000a + 100c = 1,5\end{array} \right.\]
Ta có: \[f'(x) = 3a{x^2} + 2bx + c = 3a{x^2} + \frac{1}{{20{\rm{ }}000}}x + c\]
Do hệ số góc của tiếp tuyến tại B của đồ thị hàm số đó bằng 0,04 nên
\[f'(1000) = 3000{\rm{ }}000a + \frac{1}{{20}} + c = 0,04\] tức là \[3000{\rm{ }}000a + c =  - 0,01\].
Ta có hệ phương trình sau:
\[\left\{ \begin{array}{l}100{\rm{ }}000{\rm{ }}000a + 100c = 1,5\\3{\rm{ }}000\;000a + c =  - 0,01\end{array} \right.\] suy ra \[\left\{ \begin{array}{l}a =  - \frac{1}{{80{\rm{ }}000{\rm{ }}000}}\\c = \frac{{11}}{{400}}\end{array} \right.\]
Vậy hàm số bậc ba cần tìm là; \[f(x) =  - \frac{1}{{80{\rm{ }}000{\rm{ }}000}}{x^3} + \frac{1}{{40{\rm{ }}000}}{x^2} + \frac{{11}}{{400}}x + 50\]

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

a) Ta có: \[f(52) = \frac{{26.52 + 10}}{{52 + 5}} = \frac{{1362}}{{57}} \approx 23,895\] (nghìn người).
Vậy số dân của thị trấn vào năm 2022 khoảng 23 895 người.
b) 1) Sự biến thiên
• Giới hạn tại vô cực và đường tiệm cận ngang:
\[\mathop {\lim }\limits_{t \to  + \infty } f(t) = 26\] . Do đó, đường thẳng y = 26 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
\[f'(t) = \frac{{120}}{{{{\left( {t + 5} \right)}^2}}} > 0\] với mọi t≥0.
Bảng biến thiên
Media VietJack
Hàm số ĐB trên nửa khoảng \[\left[ {0; + \infty } \right)\]. Hàm số không có cực trị.

2) Đồ thị

• Giao điểm của đồ thị với trục tung: (0:2).

• Đồ thị hàm số đi qua điểm (1 ; 6).

Vậy đồ thị hàm số \[y = f(t) = \frac{{26t + 10}}{{t + 5}},t \ge 0\] thể hiện như hình vẽ dưới đây:
Số dân của một thị trấn sau t năm kể từ năm 1970 được ước tính bởi công thức: f(t)=26t+10/t+5 (ảnh 1)
c)
c1) Tốc độ tăng dân số vào năm 2022 của thị trấn là: \[f'(52) = \frac{{120}}{{{{\left( {52 + 5} \right)}^2}}} = \frac{{40}}{{1083}}\]
c2)  Ta có: \[f'(t) = 0,192 \Leftrightarrow \frac{{120}}{{{{\left( {t + 5} \right)}^2}}} = 0,192 \Leftrightarrow t = 20{\rm{ }}(do{\rm{ }}t \ge 0)\]
Vậy vào năm 1990, thì tốc độ tăng dân số là 0,192 nghìn người/năm.

Lời giải

a) Theo ý nghĩa cơ học của đạo hàm, vận tốc của vật là v = h’(t)=24,5 – 9,8t (m/s).

Do đó, vận tốc của vật sau 2 giây là v(2) =24,5–9,8.2=4,9 (m/s).
b) Vì h(t) là hàm số bậc hai có hệ số a = –4,9 < 0 nên h(t) đạt giá trị lớn nhất tại \[t =  - \frac{b}{{2a}} = \frac{{24,5}}{{2.4,9}} = 2,5\] (giây). Khi đó, độ cao lớn nhất của vật là h(2,5) = 32,625 (m).
c) Vật chạm đất khi độ cao bằng 0, tức là h=2+24,5t – 4,9t2 =0, hay t \[ \approx \] 5,08 (giây).
Vận tốc của vật lúc chạm đất là v(5,08)=24,5 – 9,8.5,08 = -25,284 (m/s).
Vận tốc âm chứng tỏ chiều chuyển động của vật là ngược chiều dương (hướng lên trên) của trục đã chọn (khi lập phương trình chuyển động của vật).